Απαντήσεις στο ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018

spatharas · #1

Το ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018, είναι ένα κλασικό πρόβλημα μαθηματικής μοντελοποίησης, που παρόμοιό του υπάρχει στα σχολικά βιβλία. Είναι πραγματικά ένα πολύ όμορφο πρόβλημα. Το ερώτημα (Γ1) σε προδιαθέτει να απαντήσεις στα ερωτήματα (Γ2) και (Γ3) με χρήση Μαθηματικής Ανάλυσης και της σχετικής θεωρίας. Υπάρχουν όμως και άλλοι τρόποι απάντησης χρησιμοποιώντας στοιχειώδη μαθηματικά. Στην παρούσα εργασία εστιάζουμε αποκλειστικά στο ερώτημα (Γ2) και δίνουμε απαντήσεις χρησιμοποιώντας μαθηματικά που διδάσκονται σε μικρότερες τάξεις, ακόμη και στην Γ΄ Γυμνασίου.

http://www.pe03.gr/abc/ergasies/lyk-c-p ... -2018.html

Δημ. Σπαθάρας

#2

Βρίσκω εξαιρετικά ενδιαφέρουσα την ιδέα και την εργασία που παρουσιάζει στο συνημμένο ο κ. Σπαθάρας. Αναδεικνύει τη συσχέτιση εννοιών, μεθόδων και βοηθά τους μαθητές (που θέλουν) να διευρύνουν το μαθηματικό οπτικό πεδίο τους.

Στην προσπάθεια αυτή, δίνω μια μικρή συμβολή με τη γνωστή, εύκολη στην απόδειξή της (και στη Γ΄ Γυμνασίου) ανισότητα Cauchy - Swartz.

Αυτό που έχει ενδιαφέρον εδώ είναι η επιλογή των κατάλληλων μεταβλητών, για να "δουλέψει" η ανισότητα.

Χρησιμοποιώ τις μεταβλητές που όρισε ο κ. Σπαθάρας.

: 14-06-2018 Άλγεβρα.jpg (57.17 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Είναι $\displaystyle \alpha + \frac{\pi }{2} \cdot \rho = 2$ . Ζητάμε το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle {\alpha ^2} + \pi {\rho ^2}$ .

Στην ανισότητα Cauchy – Swartz $\displaystyle \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$ θέτουμε $\displaystyle a = \alpha ,\;\;b = \sqrt \pi \,\rho ,\;\;c = 1,\;\;d = \frac{{\sqrt \pi }}{2}$ .

Οπότε έχουμε $\displaystyle \left( {{\alpha ^2} + \pi {\rho ^2}} \right)\left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) \ge {\left( {\alpha + \sqrt \pi \rho \cdot \frac{{\sqrt \pi }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{\alpha ^2} + \pi {\rho ^2}} \right)\left( {\frac{{\pi + 4}}{4}} \right) \ge {\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}\rho } \right)^2} = 4$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{\alpha ^2} + \pi {\rho ^2}} \right) \ge \frac{{16}}{{4 + \pi }}$ , με το ίσον όταν $\displaystyle ad = bc \Leftrightarrow \alpha \frac{{\sqrt \pi }}{2} = \sqrt \pi \rho \Leftrightarrow \alpha = 2\rho$ , τιμή δεκτή στο πεδίο ορισμού των μεταβλητών.

edit: Η τεχνική συγγενεύει με την 5η μέθοδο του κ. Σπαθάρα, όπου χρησιμοποιεί την ταυτότητα Lagrange.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Και το Γ3 λύνετε με απλή διακρίνουσα....

Απαντήσεις στο ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018

Απαντήσεις στο ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018

Re: Απαντήσεις στο ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018

Re: Απαντήσεις στο ΘΕΜΑ Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018

Μέλη σε σύνδεση