Όρισμός παραγώγου

Aladdin · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0, + \infty ) \to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} = 0$ να δείξετε ότι f'(0) = 0

#2

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 07, 2018 12:52 am
Δίνεται η συνάρτηση $f:[0, + \infty ) \to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} = 0$ να δείξετε ότι

Έστω $\displaystyle g(x) = \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}}.$ Οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({e^{f(x)}} - f(x) - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} \cdot g(x) = 0$ κι επειδή η

είναι συνεχής,

$\displaystyle {e^{f(0)}} - f(0) - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{f(0)=0}$ (αφού ως γνωστόν $\displaystyle {e^x} \ge x + 1$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

)

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}}\mathop = \limits_{DLH}^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f'(x)({e^{f(x)}} - 1)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{2x}} = 0,$ άρα $\boxed{f'(0)=0}$

Πράγματι, επειδή η

είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, θα έχει συνεχή πρώτη παράγωγο, οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$ και με

De L' Hospital, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f'(x){e^{f(x)}}}}{2} = \frac{{f'(0)}}{2}$

#3

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 07, 2018 12:52 am
Δίνεται η συνάρτηση $f:[0, + \infty ) \to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} = 0$ να δείξετε ότι

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι $e^a \ge 1+a$ για κάθε

, με ισότητα αν και μόνον αν a=0

(απλό και γνωστό). Επίσης θα χρησιμοποιήσω ότι η $e^{f(x)}$ είναι παραγωγίσιμη με $\left (e^{f(x)}\right )'=e^{f(x)}f'(x)$ .

Από την αρχική και λόγω συνέχειας έχουμε $e^{f(0)}-f(0)-1= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} \cdot x^2=0\cdot 0 =0$ .

Άρα $e^{f(0)}=f(0)+1$ , οπότε f(0)=0

.

H αρχική συνθήκη είναι, λοιπόν, περίπτωση $\frac {0}{0}$ οπότε εξετάζουμε αν υπάρχει το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{({{e^{f(x)}} - f(x) - 1)'}}{{{(x^2)'}}}$ για να δούμε αν εφαρμόζεται ο κανόνας l' Hospital.

To όριο αυτό υπάρχει καθώς ισούται με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} f'(x)- f'(x) }}{{{2x}}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac {1}{2} \frac{e^{f(x)} -e^{f(0)}}{x-0} \cdot f'(x)=\frac {1}{2} \left (e^{f(0)}f'(0)\right ) f'(0)$

Οπότε εφαρμόζεται ο κανόνας l' Hospital και, συγκρίνοντας τις δύο παραστάσεις που βρήκαμε έχουμε από την μοναδικότητα του ορίου ότι

$0= \frac {1}{2} \left (e^{f(0)}f'(0)\right ) f'(0)$ . Άρα f'(0)=0

, όπως θέλαμε.

Ουπς. Τώρα βλέπω ότι η ερώτηση έχει απαντηθεί με ουσιαστικά παρόμοιο τρόπο. Όταν κοίταξα νωρίτερα, ο υπολογιστής μου δεν έδειχνε το μήνυμα του Γιώργου παρόλο που ήταν ήδη εκεί (πολύ νωρίτερα). Λόγω αργής σύνδεσης τυχαίνει καμιά φορά να κατέβει μόνο "το μισό" μήνυμα. Το αφήνω για τον κόπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 07, 2018 12:52 am
Δίνεται η συνάρτηση $f:[0, + \infty ) \to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} = 0$ να δείξετε ότι

Θα δώσω μια λύση που το μόνο που χρειάζεται είναι η συνέχεια της

στο

.

(Θεωρώ ότι είναι στα όρια του φακέλλου)

Οπως έγραψε και ο Γιώργος παραπάνω προκύπτει μόνο από την συνέχεια στο

ότι

Θεωρούμε την

$g(x)=\frac{{{e^{x}} - x - 1}}{{{x^2}}} ,x\neq 0$

και

$g(0)=\frac{1}{2}$

Η

είναι συνεχής στο

.(δύο DHL)

Είναι

$\dfrac{{{e^{f(x)}} - f(x) - 1}}{{{x^2}}} =g(f(x)).(\dfrac{f(x)}{x})^{2}$ (1)

Μια αλλαγή μεταβλητής και η συνέχεια της

στο

μας δίνει ότι

$\lim_{x\rightarrow 0}g(f(x))=\frac{1}{2}$

Ετσι παίρνοντας όριο στο

στην (1) συμπεραίνουμε ότι το

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(x)}{x})^{2}=0$

Αρα και $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(x)}{x})=0$

που δείχνει ότι η παράγωγος στο

υπάρχει και f'(0) = 0

Όρισμός παραγώγου

Όρισμός παραγώγου

Re: Όρισμός παραγώγου

Re: Όρισμός παραγώγου

Re: Όρισμός παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση