Πριν κλείσουν οι κάλπες...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8950
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πριν κλείσουν οι κάλπες...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 01, 2018 6:45 pm

Α) Δίνεται συνάρτηση g συνεχής στο [a,b]. Να δείξετε ότι \displaystyle \int_a^b {g(x)dx = \int_a^b {g(a + b - x)dx} }

B) Θεωρούμε συνάρτηση f για την οποία ισχύει \displaystyle f(0) = \frac{1}{2} και \displaystyle ({e^x} + 1)f'(x) = 2x - {e^x}f(x), για κάθε x\in\mathbb{R}.

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

β) Να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle \xi  \in (0,2), ώστε \displaystyle f''(\xi ) = 0.

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πριν κλείσουν οι κάλπες...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 01, 2018 9:34 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 01, 2018 6:45 pm
Α) Δίνεται συνάρτηση g συνεχής στο [a,b]. Να δείξετε ότι \displaystyle \int_a^b {g(x)dx = \int_a^b {g(a + b - x)dx} }

B) Θεωρούμε συνάρτηση f για την οποία ισχύει \displaystyle f(0) = \frac{1}{2} και \displaystyle ({e^x} + 1)f'(x) = 2x - {e^x}f(x), για κάθε x\in\mathbb{R}.

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

β) Να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle \xi  \in (0,2), ώστε \displaystyle f''(\xi ) = 0.

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx}

Πριν κλείσουν οι κάλπες ...


(Α) Είναι \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} f(\alpha+\beta-x) \, \mathrm{d}x \overset{u=\alpha+\beta-x}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!}\int_{\alpha}^{\beta}f(x) \, \mathrm{d}x},

(Β)

(α) Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ( e^x+1 \right ) f'(x) = 2x-e^x f(x) &\Rightarrow e^x f'(x) + f'(x) = 2x - e^x f(x) \\  
 &\Rightarrow e^x f'(x) + e^x f(x) + f'(x) = 2x \\  
 &\Rightarrow \left ( e^x f(x) + f(x) \right )' = \left ( x^2 \right )' \\  
 &\Rightarrow e^x f(x) + f(x) = x^2 + c \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overset{f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow c=1}{=\! =\! =\!=\!=\!=\!=\!\Rightarrow } f(x) \left ( e^x+1 \right ) =x^2+1 \\ 
 &\Rightarrow f(x) = \frac{x^2+1}{e^x+1} 
\end{aligned}}
(β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με \displaystyle{f'(x) = \frac{2x-e^x\left ( x-1 \right )^2}{\left ( e^x+1 \right )^2}}. H f' είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι f'(0)=-\frac{1}{4}<0 , f'(1)=\frac{2}{1+e^2}>0 και \displaystyle{f'(2) = \frac{4-e^2}{\left ( 1+e^2 \right )^2}<0}. Από Bolzano στο διάστημα [0, 1] υπάρχει x_1 τέτοιο ώστε f'(x_1)=0. Από Bolzano στο [1, 2] υπάρχει x_2 τέτοιο ώστε f'(x_2)=0. Από Rolle στο [x_1, x_2] υπάρχει \xi τέτοιο ώστε f''(\xi)=0.


(γ) Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής u=-x οπότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{-1}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x &= \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\! } \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^{-x}+1} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{-1}^{1} \frac{e^x \left ( x^2+1 \right )}{1+e^x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{1}{2} \left ( \int_{-1}^{1} \frac{e^x \left ( x^2+1 \right )}{1+e^x} \, \mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^x+1} \, \mathrm{d}x  \right )\\  
 &=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{\left ( x^2+1 \right )\left ( e^x+1 \right )}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}  \left ( x^2+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \int_{0}^{1} \left ( x^2+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \left [ \frac{x^3}{3} + x \right ]_0^1 \\ 
 &= \frac{4}{3} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8950
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πριν κλείσουν οι κάλπες...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 02, 2018 9:50 am

Αφού ευχαριστήσω τον Τόλη για τη λύση, να εξηγήσω απλώς το Α) ερώτημα, για μη φανεί ότι είναι τελείως άσχετο με το θέμα.

Το σκεπτικό ήταν να χρησιμοποιηθεί στο (Βγ):

\displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx = \int_{ - 1}^1 {f( - 1 + 1 - x)dx = \int_{ - 1}^1 {f( - x)dx} } } , κλπ...

Πάντως, ο Τόλης το αντιμετώπισε πολύ ωραία!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης