Δύσκολη Άσκηση

neutonas · #1

Αν

συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\left[a,b\right]$ με

$\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}=\frac{f(a)+f(b)}{2}$

τοτε να δειξετε οτι υπάρχει $\theta$ που ανήκει στο (a,b)

τέτοιο ώστε $f'(\theta)=\dfrac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

neutonas έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 19, 2018 9:25 pm
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\left[a,b\right]$ με

$\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}=\frac{f(a)+f(b)}{2}$

τοτε να δειξετε οτι υπάρχει $\theta$ που ανήκει στο τέτοιο ώστε $f'(\theta)=\dfrac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}$ .

Είναι $(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a})'=\dfrac{f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^{2}}$

θέτουμε $g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Θέλουμε $\theta \in (a,b)$ με $g'(\theta )=0$

Αν δεν υπάρχει επειδή είναι παράγωγος θα διατηρεί πρόσημο.

Εστω λοιπόν ότι $g'(x)> 0,x\in (a,b)$
(ομοια για αρνητικό)

Η

θα είναι γνησίως αύξουσα στο (a,b]

Αρα $x\in (a,b)\Rightarrow \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}< \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

δηλαδή $f(x)-f(a)< \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Ολοκληρώνοντας την τελευταία στο [a,b]

παίρνουμε ότι

$\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}<\frac{f(a)+f(b)}{2}$

που προφανώς είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα υπάρχει.

neutonas · #3

Μήπως υπάρχει ένας πιο ευθύς τρόπος (ας πούμε με θμτ .....)απόδειξης;

#4

neutonas έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 19, 2018 9:25 pm
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\left[a,b\right]$ με

$\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}=\frac{f(a)+f(b)}{2}$

τοτε να δειξετε οτι υπάρχει $\theta$ που ανήκει στο τέτοιο ώστε $f'(\theta)=\dfrac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}$ .

...και άλλη μία λύση κατ επιθυμία....

Θέλουμε η εξίσωση ${f}'(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Leftrightarrow (x-a){f}'(x)=f(x)-f(a)$ και ισοδύναμα αν

είναι μια αρχική της

στο

$\left[a,b\right]$ η εξίσωση $(x-a){f}'(x)+f(x)=2f(x)-f(a)\Leftrightarrow {{\left( (x-a)f(x) \right)}^{\prime }}-{{\left( 2F(x)-f(a)x \right)}^{\prime }}=0$

ή ((x-a)f(x)-2F(x)+f(a)x{)}'=0

να έχει λύση.

Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=(x-a)f(x)-2F(x)+f(a)x,\,\,x\in [a,\,b]$ ισχύουν ότι

$g(\alpha )=-2F(\alpha )+f(a)\alpha$ και g(b)=(b-a)f(b)-2F(b)+f(a)b

και λόγω υπόθεσης επειδή είναι

$\frac{\int\limits_{a}^{b}{f}(x)dx}{b-a}=\frac{f(a)+f(b)}{2}\Leftrightarrow \frac{F(b)-F(\alpha )}{b-\alpha }=\frac{f(a)+f(b)}{2}\Leftrightarrow$

$2F(b)-2F(\alpha )=(b-a)(f(a)+f(b))$ προκύπτει εύκολα ότι $g(\alpha )=g(b)$ και έτσι σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle

{g}'(x)=0

έχει ρίζα, όπως θέλαμε.

Φιλικά και Μαθημτικά
Βασίλης

neutonas · #5

Ωστόσο αυτό που είχα στο μυαλό είναι να κάνω πρώτα ΘΜΤ για την F ώστε $\displaystyle F{\left ( \theta \right )}'= f\left ( \theta \right )=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$ αλλά μετά κολλάω . Κανείς καμιά ιδέα;

Ratio · #6

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:00 am
Ωστόσο αυτό που είχα στο μυαλό είναι να κάνω πρώτα ΘΜΤ για την F ώστε $\displaystyle F{\left ( \theta \right )}'= f\left ( \theta \right )=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$ αλλά μετά κολλάω . Κανείς καμιά ιδέα;

ϊσως αυτό βοηθήσει, αφού απο τη δεδομένη σχέση εξάγεται ότι το $E(\Omega))$ είναι ίσο με το εμβαδό του τραπεζίου
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}\frac{f(a)+f(b)}{b-a}+\int_{a}^{b}\left | y-f(x)\right | dx$
παράδειγμα , από μια τυχαία συνάρτηση. Στην έκφραση της ευθείας

υπεισέρχεται το ΘΜΤ . Τουλαχιστον εγώ έτσι την αντιμετώπισα από την αρχή που τη διάβασα

: trapezium.png (82.14 KiB) Προβλήθηκε 2373 φορές

neutonas · #7

Ratio έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 11:01 am

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:00 am
Ωστόσο αυτό που είχα στο μυαλό είναι να κάνω πρώτα ΘΜΤ για την F ώστε $\displaystyle F{\left ( \theta \right )}'= f\left ( \theta \right )=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$ αλλά μετά κολλάω . Κανείς καμιά ιδέα;
ϊσως αυτό βοηθήσει, αφού απο τη δεδομένη σχέση εξάγεται ότι το $E(\Omega))$ είναι ίσο με το εμβαδό του τραπεζίου
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}\frac{f(a)+f(b)}{b-a}+\int_{a}^{b}\left | y-f(x)\right | dx$
παράδειγμα , από μια τυχαία συνάρτηση. Στην έκφραση της ευθείας υπεισέρχεται το ΘΜΤ . Τουλαχιστον εγώ έτσι την αντιμετώπισα από την αρχή που τη διάβασα
trapezium.png

Εδώ δεν έχουμε εμβαδόν αλλά ολοκλήρωμα
Το ολοκλήρωμα είναι ευρύτερη έννοια του εμβαδού

#8

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:00 am
$\displaystyle F{\left ( \theta \right )}'= f\left ( \theta \right )=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$

Εδώ υπάρχει μία παρανόηση (σοβαρό λογικό σφάλμα). Το $\theta$ δεν είναι μεταβλητή αλλά είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, οπότε
δεν έχει νόημα η παραγώγιση.

Για παράδειγμα το ΘΜΤ στην x^2

στο

δίνει $\theta$ με $2\theta = \frac {1^1-0^2}{1-0}$ ή αλλιώς $2\theta= 1$ . Τώρα εδώ δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε. Αν δεν είναι σαφές γιατί (*), ας παραγωγίσουμε για να διαπιστώσουμε ότι θα πάρουμε τον παραλογισμό 2=0

.

(*) neutonas, σου το θέτω ως ερώτηση κρίσης να μας πεις το "γιατί"

neutonas · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:56 pm

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:00 am
$\displaystyle F{\left ( \theta \right )}'= f\left ( \theta \right )=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$
Εδώ υπάρχει μία παρανόηση (σοβαρό λογικό σφάλμα). Το $\theta$ δεν είναι μεταβλητή αλλά είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, οπότε
δεν έχει νόημα η παραγώγιση.

Για παράδειγμα το ΘΜΤ στην στο δίνει $\theta$ με $2\theta = \frac {1^1-0^2}{1-0}$ ή αλλιώς $2\theta= 1$ . Τώρα εδώ δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε. Αν δεν είναι σαφές γιατί (*), ας παραγωγίσουμε για να διαπιστώσουμε ότι θα πάρουμε τον παραλογισμό .

(*) neutonas, σου το θέτω ως ερώτηση κρίσης να μας πεις το "γιατί"

Τι εννοείς δεν κατάλαβα

neutonas · #10

Μάλλον λάθος συμβολισμός ήθελα F'(θ) και όχι F(θ)'

#11

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 5:04 pm
Μάλλον λάθος συμβολισμός ήθελα F'(θ) και όχι F(θ)'

Δεν αλλάζει απολύτως τίποτα με το ένα ή το άλλο.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια.

neutonas · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 5:29 pm

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 5:04 pm
Μάλλον λάθος συμβολισμός ήθελα F'(θ) και όχι F(θ)'
Δεν αλλάζει απολύτως τίποτα με το ένα ή το άλλο.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια.

Ωστόσο αυτό που σκέφτηκα είναι και η συσχέτιση με τις ανισότητες jensen στο πρόχειρο θεώρησα ως θ το (α+β)/2 αυτό έχει βάση ;

#13

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 5:58 pm
Ωστόσο αυτό που σκέφτηκα είναι και η συσχέτιση με τις ανισότητες jensen στο πρόχειρο θεώρησα ως θ το (α+β)/2 αυτό έχει βάση ;

Κάνεις τα εύκολα δύσκολα, και μάλλον δεν έχεις καταλάβει την ερώτηση. Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Η ερώτηση είναι

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:56 pm
Τώρα εδώ δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε. Αν δεν είναι σαφές γιατί (*) ...
...
(*) neutonas, σου το θέτω ως ερώτηση κρίσης να μας πεις το "γιατί"

Ας προσθέσω ότι ουσιαστικά έχω απαντήσει, αλλά ήθελα να σιγουρευτώ ότι το κατάλαβε ο ίδιος ο neutonas.

neutonas · #14

Κατάλαβα τι εννοείς όμως οι ιδέες μου δεν έχουν βάση;

#15

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 8:13 pm
Κατάλαβα τι εννοείς όμως οι ιδέες μου δεν έχουν βάση;

Τόση ώρα λέω ότι η μέθοδος είναι λάθος. Προς τι η ερώτησή σου;

Αυτό που θέλουμε να δούμε είναι (κάνω μια τελευταία προσπάθεια) αν κατάλαβες
γιατί είναι λάθος. Με υπεκφυγές, δεν παίρνεις τον σωστό δρόμο προς την μάθηση.

neutonas · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 9:50 pm

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 8:13 pm
Κατάλαβα τι εννοείς όμως οι ιδέες μου δεν έχουν βάση;
Τόση ώρα λέω ότι η μέθοδος είναι λάθος. Προς τι η ερώτησή σου;

Αυτό που θέλουμε να δούμε είναι (κάνω μια τελευταία προσπάθεια) αν κατάλαβες
γιατί είναι λάθος. Με υπεκφυγές, δεν παίρνεις τον σωστό δρόμο προς την μάθηση.

Το κατάλαβα το θ δεν είναι μεταβλητή άρα δεν μπορώ να κάνω θμτ (ευχαριστώ που με βοήθησες )

neutonas · #17

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 10:41 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 9:50 pm

neutonas έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 8:13 pm
Κατάλαβα τι εννοείς όμως οι ιδέες μου δεν έχουν βάση;
Τόση ώρα λέω ότι η μέθοδος είναι λάθος. Προς τι η ερώτησή σου;

Αυτό που θέλουμε να δούμε είναι (κάνω μια τελευταία προσπάθεια) αν κατάλαβες
γιατί είναι λάθος. Με υπεκφυγές, δεν παίρνεις τον σωστό δρόμο προς την μάθηση.
Το κατάλαβα το θ δεν είναι μεταβλητή άρα δεν μπορώ να κάνω θμτ (ευχαριστώ που με βοήθησες )

Η αρχική μου ιδέα είναι η εξής
έστω F αρχική της f στο [α,β] τότε η αρχική σχέση γράφεται
$\displaystyle \frac{F\left ( \beta \right )-F\left ( \alpha \right )}{\beta -\alpha }=\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$
εφαρμόζω θμτ για την F στο [α,β] άρα
$\displaystyle \exists \theta \in [\alpha ,\beta ]$ τ.ω. $\displaystyle f\left ( \theta \right) =\frac{f\left ( \alpha \right )+f\left ( \beta \right )}{2}$
Ύστερα θμτ για την f στο [α,θ] άρα
$\displaystyle \exists k \in \left ( \alpha ,\theta \right )\subseteq \left ( \alpha ,\beta \right )$ τ.ω. $\displaystyle f{(k)}'= \frac{(f\left ( \theta )-f\left ( \alpha \right ) \right )}{\theta -\alpha }$
Άρα αρκεί ν.δ.ο. $\displaystyle f{\left ( k \right )}'= f{\left ( \theta \right )}'$ εδώ κολλάω

Δύσκολη Άσκηση

Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Re: Δύσκολη Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση