Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

antonisdroutsas1997
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Μαρ 27, 2018 5:44 pm

Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antonisdroutsas1997 » Τρί Μάιος 08, 2018 2:29 pm

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1 .

A.Να αποδειχτεί ότι η f' είναι άρτια και να βρεθούν τα όρια της στο \pm \infty .
Β.Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Γ.Να αποδειχθεί ότι κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(ξ,f(ξ)) με ξ>0 έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Μάιος 17, 2018 4:25 pm

antonisdroutsas1997 έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 2:29 pm
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1 .

A.Να αποδειχτεί ότι η f' είναι άρτια και να βρεθούν τα όρια της στο \pm \infty .
Β.Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Γ.Να αποδειχθεί ότι κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(ξ,f(ξ)) με ξ>0 έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Α. Είναι f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1 = f(x) , \forall x\in \mathbb{R} . Συνεπώς η f' : άρτια.

Επίσης \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \left (x^2 \left [ \dfrac{ln\left ( x^2+e-1 \right )}{x^2} -2 +\dfrac{1}{x^2}\right ] \right )= -\infty , διότι θέτοντας x^2+e-1=u έχουμε
\displaystyle \lim_{x\rightarrow- \infty }\dfrac{ln\left ( x^2+e-1 \right )}{x^2} = \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{lnu}{u+1-e} \overset{\frac{\infty }{\infty }}{=}\underset{DLH}{=} \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{1}{u} =0 .

Ομοίως και \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)= + \infty .

B. Η f' είναι παραγωγίσιμη με f''(x)= \dfrac{-2x(2x^2+2e-3)}{x^2+e-1} .

Είναι f''(x) >0  \forall x \in (-\infty , 0] άρα η f' είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty , 0] , συνεπώς κυρτή στο διάστημα αυτό.
Είναι f''(x) <0  \forall x \in [0,\infty ) άρα η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο {0, +\infty ) , συνεπώς κοίλη στο διάστημα αυτό.
Το 0 είναι μοναδικό σημείο καμπής.

Επίσης ισχύει :
x<-1 \Rightarrow f'(x)<f'(-1)=0 . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty , -1] .

-1<x<1 \Rightarrow f'(x)>f'(-1)=0 . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [-1 , 1] .

x<-1 \Rightarrow f'(x)<f'(-1)=0 . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+\infty ) .

Γ. Η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της C_f με τετμημένη \xi >0 είναι g(x)= f'(\xi ) (x-\xi ) +f(\xi ) .
Αφού η f είναι κοίλη στο (0,+\infty) συμπεραίνουμε f(x)\leq g(x) (1).
Θέτω h(x)=f(x)-g(x) . Είναι h(x)\leq0 με h(x)= 0 μόνο στο \xi .
Έστω ότι δεν υπάρχει κανένα κοινό σημείο της C_f με την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.
Τότε h(x)\neq 0 ,\,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0) και επειδή η h είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο στο (-\infty,0) .
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
α) Έστω h(x)>0 στο (-\infty,0) . Τότε για x_1<0 \Rightarrow h(x_1)>0 .
Επίσης από την (1) για 0<x_2<\xi \Rightarrow h(x_2)>0 .
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. Άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της h στο (x_1 ,x_2) .
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κοινό σημείο της C_f με την εφαπτομένη της, εκτός του σημείου επαφής. ΑΤΟΠΟ.
β) Έστω h(x)<0 στο (-\infty,0) . Άρα f(x)<g(x) , δηλαδή η C_f βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη στο (-\infty,0) .
Επειδή ισχύει ότι η f'' δεν μηδενίζεται σε κανένα άλλο σημείο, πλην του 0 συμπεραίνουμε ότι η f κοίλη στο (-\infty,0) .
ΑΤΟΠΟ, διότι είναι κυρτή στο διάστημα αυτό.
Συνεπώς κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(\xi,f(\xi)) με \xi>0 έχει κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.

Έστω τώρα ότι η C_f έχει δύο κοινά σημεία A(x_1,f(x_1)) , B(x_2 , f(x_2))με την εφαπτομένη της στο Α(\xi,f(\xi)) εκτός από το σημείο επαφής .
Είναι x_1<0 και x_2<0. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) -\xi<x_1<x_2<0<\xi . Είναι f'(-\xi)=f'(\xi).

Επίσης f(x_1)=g(x_1)\Leftrightarrow f(x_1)=f'(x_1)(x_1-\xi )+f(\xi )\Leftrightarrow \dfrac{f(\xi )-f(x_1)}{\xi -x_1} =f'(\xi ) .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο [x_1, \xi] . Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα x_o \in (x_1, \xi) ώστε f'(x_o)= \dfrac{f(\xi )-f(x_1)}{\xi -x_1} .
Άρα f'(-\xi) = f'(x_o) =f'(\xi).
Εφαρμόζω δύο φορές Θ. Rolle στην f' στα [-\xi, x_o] και [x_o, \xi] συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες της f'' .
ΑΤΟΠΟ.
β) x_1<-\xi<x_2<0<\xi . Ομοίως με την προηγούμενη, καταλήγουμε σε Άτοπο.
γ) x_1<x_2<-\xi<0<\xi . Ομοίως με την προηγούμενη, καταλήγουμε σε Άτοπο.

Τελικά κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(\xi,f(\xi)) με \xi>0 έχει μοναδικό κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες