Ύπαρξη ρίζας

pito · #1

Καλησπέρα

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ . Αν ισχύει $f(-\frac{5}{4})=f(\frac{1}{4})$ , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon [-\frac{5}{4},-\frac{1}{4}]$ τέτοιο ώστε $f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{2})$ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

#2

pito έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 12:33 pm
Καλησπέρα

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ . Αν ισχύει $f(-\frac{5}{4})=f(\frac{1}{4})$ , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon [-\frac{5}{4},-\frac{1}{4}]$ τέτοιο ώστε $f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{2})$ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

ΛΥΣΗ

Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$ που είναι συνεχής στο

ως πράξεις συνεχών με

$g(-\frac{5}{4})=f(-\frac{5}{4})-f(-\frac{5}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{5}{4})-f(-\frac{3}{4})$ και $g(-\frac{3}{4})=f(-\frac{3}{4})-f(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{3}{4})-f(-\frac{1}{4})$ και

$g(-\frac{1}{4})=f(-\frac{1}{4})-f(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{4})-f(\frac{1}{4})$ έχουμε με πρόσθεση κατά μέλη ότι

$g(-\frac{5}{4})+g(-\frac{3}{4})+g(-\frac{1}{4})=f(-\frac{5}{4})-f(\frac{1}{4})=0$ (1)

και αν $g(x)\ne 0$ για κάθε $x\in [-\frac{5}{4},\,-\frac{1}{4}]$ θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή g(x)>0

ή

και από (1) άτοπο

άρα υπάρχει ${{x}_{0}}\in [-\frac{5}{4},\,-\frac{1}{4}]$ που $g({{x}_{0}})=0$ ή $f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\frac{1}{2})$

και γεωμετρικά σημαίνει ότι υπάρχει χορδή οριζόντια της γραφικής παράστασης της

μήκους $\frac{1}{2}$

...μετά από Π.Μ. του Σταυρου του Παπαδόπουλου διόρθωσα την αβλεψία μου στο διάστημα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 1:08 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 12:33 pm
Καλησπέρα

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ . Αν ισχύει $f(-\frac{5}{4})=f(\frac{1}{4})$ , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon [-\frac{5}{4},-\frac{1}{4}]$ τέτοιο ώστε $f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{2})$ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
ΛΥΣΗ

Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$ που είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών με

$g(-\frac{5}{4})=f(-\frac{5}{4})-f(-\frac{5}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{5}{4})-f(-\frac{3}{4})$ και $g(-\frac{3}{4})=f(-\frac{3}{4})-f(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{3}{4})-f(-\frac{1}{4})$ και

$g(-\frac{1}{4})=f(-\frac{1}{4})-f(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{4})-f(\frac{1}{4})$ έχουμε με πρόσθεση κατά μέλη ότι

$g(-\frac{5}{4})+g(-\frac{3}{4})+g(-\frac{1}{4})=f(-\frac{5}{4})-f(\frac{1}{4})=0$ (1)

και αν $g(x)\ne 0$ για κάθε $x\in [-\frac{5}{4},\,-\frac{1}{4}]$ θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή ή και από (1) άτοπο

άρα υπάρχει ${{x}_{0}}\in [-\frac{5}{4},\,-\frac{1}{4}]$ που $g({{x}_{0}})=0$ ή $f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\frac{1}{2})$

και γεωμετρικά σημαίνει ότι υπάρχει χορδή οριζόντια της γραφικής παράστασης της μήκους $\frac{1}{2}$

...μετά από Π.Μ. του Σταυρου του Παπαδόπουλου διόρθωσα την αβλεψία μου στο διάστημα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Να σημειώσω ότι

1) Το $\xi$ μπορούμε να το έχουμε στο $(-\frac{5}{4},\,-\frac{1}{4})$ .

Πράγματι από την $g(-\frac{5}{4})+g(-\frac{3}{4})+g(-\frac{1}{4})=f(-\frac{5}{4})-f(\frac{1}{4})=0$ συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί

$g(-\frac{5}{4}),g(-\frac{3}{4}),g(-\frac{1}{4})$ η θα είναι και οι τρεις

όποτε π.χ $\xi=-\frac{3}{4}$

η θα υπάρχει ένας τουλάχιστον θετικός και ένας τουλάχιστον αρνητικός όποτε εφαρμόζουμε Bolzano.
(οι συμβολισμοί είναι όπως του Βασίλη πιο πάνω)

2)Την άσκηση αυτή με άλλα νούμερα την βλέπουνε συχνά οι φοιτητές του Μαθηματικού Αθηνών στις εξετάσεις τους στο
μάθημα Απειροστικός Ι.

Ύπαρξη ρίζας

Ύπαρξη ρίζας

Re: Ύπαρξη ρίζας

Re: Ύπαρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση