Θέμα επανάληψης

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Θέμα επανάληψης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Κυρ Απρ 15, 2018 1:09 pm

Καλησπέρα. Αυτή την εποχή τα επαναληπτικά θέματα έχουν την τιμητική τους και σε μια ανακατασκευή θέματος από τα προτεινόμενα της ε.μ.ε. μου προέκυψε η παρακάτω σύνθεση, για την οποία θα ήθελα τη γνώμη σας για το τελευταίο (κυρίως) ερώτημα.

f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2ln\left | x \right |-x^2+1\; ,\: x\neq 0\\1\; ,\, x=0 \end{matrix}\right.

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, να αποδείξετε ότι είναι άρτια και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εξίσωση 2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1 να έχει 4 διαφορετικές ρίζες.
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τους άξονες x'x και y'y.


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1432
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Θέμα επανάληψης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Απρ 15, 2018 11:40 pm

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 1:09 pm
Καλησπέρα. Αυτή την εποχή τα επαναληπτικά θέματα έχουν την τιμητική τους και σε μια ανακατασκευή θέματος από τα προτεινόμενα της ε.μ.ε. μου προέκυψε η παρακάτω σύνθεση, για την οποία θα ήθελα τη γνώμη σας για το τελευταίο (κυρίως) ερώτημα.

f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2ln\left | x \right |-x^2+1\; ,\: x\neq 0\\1\; ,\, x=0 \end{matrix}\right.

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, να αποδείξετε ότι είναι άρτια και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εξίσωση 2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1 να έχει 4 διαφορετικές ρίζες.
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τους άξονες x'x και y'y.
...προσπαθώντας....

1. Είναι η f συνεχής για x\ne 0(πράξεις μεταξύ συνεχών ) και εξετάζουμε στο x=0 και είναι

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}+1)=1 γιατί

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(xln\left| x \right|)\overset{0\cdot \infty }{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln |x|}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0 οπότε

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0) επομένως συνεχής και στο x=0 άρα συνεχής στο R

2. Είναι η f παραγωγίσιμη για x\ne 0, πράξεις παραγωγίσιμων με {f}'(x)=(2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}+1{)}'=4xln\left| x \right|+2{{x}^{2}}\frac{1}{x}-2x=4xln\left| x \right| και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|=0\Leftrightarrow ln\left| x \right|=0\Leftrightarrow |x|=1\Leftrightarrow x=-1,\,\,x=1 με

{f}'(x)>0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|>0\Leftrightarrow ln\left| x \right|>0\Leftrightarrow |x|>1\Leftrightarrow x<-1,\,\,x>1 και

{f}'(x)<0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|<0\Leftrightarrow ln\left| x \right|<0\Leftrightarrow |x|<1\Leftrightarrow -1<x<0,\,\,0<x<1

επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα [-1,\,\,0],\,\,[1,\,+\infty ) και γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα (-\infty ,\,\,-1],\,\,[0,\,\,1] έτσι έχουμε

f([-1,\,\,0])=[f(-1),\,\,f(0)],\,\,\,f([1,\,+\infty ))=[f(1),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)) ή

f([-1,\,\,0])=[0,\,\,1],\,\,\,f([1,\,+\infty ))=[0,\,\,+\infty ) αφου \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}(2\ln |x|-1)+1)=+\infty

f((-\infty ,\,-1])=[f(-1),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)),\,\,\,f([0,\,1])=[f(1),\,\,f(0)] ή

f((-\infty ,\,-1])=[0,\,\,+\infty ),\,\,\,f([0,\,1])=[0,\,\,1] άρα το σύνολο τιμών της f είναι το [0,\,+\infty )

3. Είναι για x\ne 0 {f}''(x)=(4xln\left| x \right|{)}'=4(\ln |x|+1) με

{f}''(x)=0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'=0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)=0\Leftrightarrow |x|=\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x=-\frac{1}{e},\,\,x=\frac{1}{e})

{f}''(x)>0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'>0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)>0\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x<-\frac{1}{e},\,\,x>\frac{1}{e})

{f}''(x)<0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'<0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)<0\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (-\frac{1}{e}<x<0,\,\,0<x<\frac{1}{e})

άρα η f είναι κυρτή στα διαστήματα (-\infty ,\,-\frac{1}{e}],\,\,[\frac{1}{e},\,+\infty ) και κοίλη στα διαστήματα [-\frac{1}{e},\,0],\,\,[0,\,\,\frac{1}{e}]

και επειδή \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(4xln\left| x \right|)=0

άρα παραγωγίσιμη στο x=0 κοίλη στο [-\frac{1}{e},\,\,\frac{1}{e}]

Τώρα επειδή f(-x)=2{{(-x)}^{2}}ln|-x|-{{(-x)}^{2}}+1=2xln|x|-x+1=f(x),\,\,\,x\ne 0 είναι άρτια.

150418 ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ.jpg
150418 ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ.jpg (12.58 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές


4. Είναι 2{{x}^{2}}ln\left| x \right|={{x}^{2}}+\alpha -1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}-1=\alpha \Leftrightarrow f(x)=a

και προφανώς λόγω του συνόλου τιμών της fόταν ο πραγματικός αριθμός α παίρνει τιμές στο διάστημα (0,\,1) η εξίσωση

2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1 να έχει 4 διαφορετικές ρίζες

μία σε κάθε διάστημα (-\infty ,\,\,-1),\,\,(-1,\,\,0),\,\,(0,\,\,1),\,\,(1,\,+\infty )

5. Για το ζητούμενο εμβαδό λόγω του ότι η f είναι άρτια θα βρούμε το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f

των ευθειών x=0,\,\,x=1 και του {x}'x και θα το διπλασιάσουμε, έτσι τότε

πρέπει να βρούμε την αρχική της f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1\ ,\;x>0  \\ 
   1\ ,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.

…εδώ όπως έχει επισημάνει και ο Βασίλης έχουμε θέμα με την σχολική ύλη αφού στην ουσία για να βρούμε αρχική της

2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1 χρειάζεται παραγοντική βρίσκοντας το αόριστο ολοκλήρωμα ή με την χρήση της συνάρτησης ολοκλήρωμα αφού αν

F(x)=\int\limits_{1}^{x}{(2{{t}^{2}}\ln t-{{t}^{2}}+1})dt μία αρχική της έχουμε

F(x)=\int\limits_{1}^{x}{(2{{t}^{2}}\ln t-{{t}^{2}}+1})dt=2\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}}lnt)dt-}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}}-1})dt=

=\left[ \frac{2}{3}{{t}^{3}}\ln t \right]_{1}^{x}-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{3}}\frac{1}{t})dt-}\left[ \frac{1}{3}{{t}^{3}}-t \right]_{1}^{x}=\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}})dt-}\frac{1}{3}{{x}^{3}}+t+\frac{2}{3}


=\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9} έτσι τώρα θεωρώντας την

F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x>0 \\  
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F(0),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right.για να είναι αρχική της

f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1\ ,\;x>0  \\ 
   1\ ,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.

κατ αρχάς πρέπει να είναι συνεχής στο x=0 και είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9})=\frac{8}{9}=F(0)

(…αφού \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(x\ln x)\overset{0\cdot \infty }{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\mathop{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}\,}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0)

έτσι F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9},x>0 \\  
 & \frac{8}{9}x=0 \\  
\end{matrix} \right.

και επίσης παραγωγίσιμη και συγκεκριμένα πρέπει {F}'(0)=f(0)=1 και έτσι για την παραπάνω

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{F}'(x)}{1}=

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x{)}'=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(2{{x}^{2}}\ln x+\frac{2}{3}{{x}^{2}}\frac{1}{x}-\frac{5}{3}{{x}^{2}}+1)=1=f(1)

άρα η παραπάνω είναι μια αρχική της f και τότε E=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\left[ F(x) \right]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\frac{4}{9} και το ζητούμενο τελικά είναι 2E=\frac{8}{9}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Θέμα επανάληψης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Δευ Απρ 16, 2018 10:18 am

Ευχαριστώ πολύ το συνονόματο για την υποδειγματική λύση .

Σχόλιο 1: Στο ερώτημα 5 η αρχική εκφώνηση θέλει διόρθωση :oops: (και ζητώ συγγνώμη για αυτό, ειδικά από το Βασίλη που αφιέρωσε τόσο χρόνο για να γράψει την εξαιρετική λύση).
Δε χρειάζεται ο άξονας y'y, δηλαδή πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x'x. (Δεν ήξερα αν πρέπει να διορθώσω το αρχικό για να μην αλλοιωθεί η ροή των απαντήσεων σύμφωνα με τον κανονισμό).

Σχόλιο 2: Θα ήθελα τη γνώμη σας για την εξής απάντηση.
Αφού δικαιολογήσουμε το πρόσημο της f από το σχήμα ή από το σύνολο τιμών, να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα E=\int_{-1}^{1}f(x)dx χωρίς τη χρήση της αρχικής που κατασκεύασε και δικαιολόγησε ο συνάδελφος στην παραπάνω λύση και με χρήση βασικών μεθόδων ολοκλήρωσης (που είναι μέσα στη σχολική ύλη) να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Tolaso J Kos και 1 επισκέπτης