Δίκλαδη

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Δίκλαδη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Σάβ Απρ 14, 2018 3:53 pm

Καλησπέρα :logo: .

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix}(x^{2})^{x},x\neq 0
 & \\ 1,x=0
 & 
\end{matrix}\right.

α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο (1,f(1))
ii) να λυθεί η εξίσωση f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0
γ) Να δείξετε ότι \int_{0}^{1}xf(x+1)dx>1+\int_{0}^{1}(x-1)f(x)dx


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1467
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Δίκλαδη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Απρ 16, 2018 12:14 am

pito έγραψε:
Σάβ Απρ 14, 2018 3:53 pm
Καλησπέρα :logo: .

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix}(x^{2})^{x},x\neq 0 
 & \\ 1,x=0 
 &  
\end{matrix}\right.

α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο (1,f(1))
ii) να λυθεί η εξίσωση f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0
γ) Να δείξετε ότι \int_{0}^{1}xf(x+1)dx>1+\int_{0}^{1}(x-1)f(x)dx

...μια αντιμετώπιση μέχρι και το γ.....


α) Είναι για x\ne 0 η f(x)={{x}^{2x}}={{e}^{2x\ln |x|}} με

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2x\ln |x|}}\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to {{0}^{+}} \\  
 u\to {{0}^{+}}  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=x\ln |x|}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2u}}=1=f(0) άρα συνεχής και στο x=0

άρα συνεχής στο πεδίο ορισμού της και για x\ne 0 παραγωγίσιμη με

{f}'(x)=2{{e}^{2x\ln |x|}}(x\ln |x|)=2f(x)(\ln |x|+1) και τότε

{f}'(x)=0\Leftrightarrow \ln |x|+1=0\Leftrightarrow \ln |x|=-1\Leftrightarrow |x|=\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x=-\frac{1}{e},\,\,x=\frac{1}{e})

και {f}'(x)>0\Leftrightarrow \ln |x|+1>0\Leftrightarrow \ln |x|>-1\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x<-\frac{1}{e},\,\,x>\frac{1}{e})

και {f}'(x)<0\Leftrightarrow \ln |x|+1<0\Leftrightarrow \ln |x|-1<0\Leftrightarrow |x|<\frac{1}{e}\Leftrightarrow (-\frac{1}{e}<x<\frac{1}{e})

επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα (-\infty ,\,-\frac{1}{e}],\,\,[\frac{1}{e},\,+\infty ) και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα

[-\frac{1}{e},\,\,\frac{1}{e}] άρα έχει τοπικό μέγιστο το f(-\frac{1}{e})={{e}^{-\frac{2}{e}}} και τοπικό μέγιστο το f(\frac{1}{e})={{e}^{\frac{2}{e}}}

β)i) Είναι {f}'(x)=2f(x)(\ln |x|+1),\,\,x\ne 0άρα {f}'(1)=2f(1)=2 και η εφαπτομένη τότε είναι y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1

ii) Η εξίσωση f(x)+x^{2}-4x+2=0,x>0 έχει προφανή ρίζα την x=1 και τώρα η συνάρτηση

g(x)=f(x)+{{x}^{2}}-4x+2=f(x)-2x+1+{{x}^{2}}-2x+1=

=f(x)-2x+1+{{(x-1)}^{2}}>0,\,\,x\ne 1 γιατί για x>0η {f}'(x)=2f(x)(lnx+1)και

\displaystyle {f}''(x)=2{f}'(x)(lnx+1)+2f(x)\frac{1}{x}=\displaystyle =4f(x){{(\ln x+1)}^{2}}+2f(x)\frac{1}{x}=2f(x)(2{{(\ln x+1)}^{2}}+\frac{1}{x})>0,\,\,x>0

άρα \displaystyle fκυρτή και λόγω κυρτότητας ισχύει f(x)>2x-1,\,\,x\ne 1 και {{(x-1)}^{2}}>0,\,\,x\ne 1 άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την x=1

...για το γ :ewpu:

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1583
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Δίκλαδη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Απρ 16, 2018 12:47 am

Βασίλη αν αν κατάλαβα καλά είναι κυρτή η συνάρτηση.

Έχουμε :

\begin{array}{*{20}{l}} 
{\left. {\begin{array}{*{20}{l}} 
{f\left( x \right) \ge 2x - 1\mathop  \Rightarrow \limits^{x \ge 0} f\left( {x + 1} \right) \ge 2x + 1\mathop  \Rightarrow \limits^{x \ge 0} xf\left( {x + 1} \right) \ge 2{x^2} + x \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right]_0^1}\\ 
{f\left( x \right) \ge 2x - 1\mathop  \Rightarrow \limits^{1 \ge x \ge 0} \left( {x - 1} \right)f\left( x \right) \le \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x \ge 0} \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx < \left[ {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x} \right]_0^1 \Rightarrow } 
\end{array}} \right\} \Rightarrow }\\ 
{\left. {\begin{array}{*{20}{l}} 
{\int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right]_0^1}\\ 
{ - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx >  - \left[ {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x} \right]_0^1} 
\end{array}} \right\} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( {x + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)} {\mkern 1mu} dx > \left[ {2{x^2} - x} \right]_0^1 = 1} 
\end{array}
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Τετ Απρ 25, 2018 6:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Δίκλαδη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Απρ 18, 2018 12:01 pm

Σας ευχαριστώ και τους δύο για την ενασχόληση.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης