Επαναληπτική 2/2018

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=1

τέτοια ώστε, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0}$
(α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f'(x)f^{2}(x)=x$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
(β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{3x^{2}}{2}+1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .
(γ.i.) Να μελετήσετε την

ως προς:

τη μονοτονία,

τα ακρότατα,

το σύνολο τιμών,

την κυρτότητα,

τα σημεία καμπής,

τις ασύμπτωτες ευθείες της.

(γ.ii.) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της

.
(δ) Αν $\displaystyle a,b\in \left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ]$ με άθροισμα $\displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}$ , τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{\displaystyle \mathcal{A}=\sqrt[3]{3a^{2}+2}+\sqrt[3]{3b^{2}+2}}$
Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 13, 2018 4:01 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με τέτοια ώστε, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0}$
(α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f'(x)f^{2}(x)=x$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
(β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{3x^{2}}{2}+1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .
(γ.i.) Να μελετήσετε την ως προς:
τη μονοτονία,

τα ακρότατα,

το σύνολο τιμών,

την κυρτότητα,

τα σημεία καμπής,

τις ασύμπτωτες ευθείες της.
(γ.ii.) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
(δ) Αν $\displaystyle a,b\in \left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ]$ με άθροισμα $\displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}$ , τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{\displaystyle \mathcal{A}=\sqrt[3]{3a^{2}+2}+\sqrt[3]{3b^{2}+2}}$
Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια στα τρία πρώτα ...
(α) Είναι:
$\dfrac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=\dfrac{\left [f(x+h)-f(x-h) \right ]\left [ f^2(x+h)+f(x+h)f(x-h)+f^2(x-h) \right ]-6xh}{h}=$
$=\left [\dfrac{f(x+h)-f(x) }{h} - \dfrac{f(x-h)-f(x) }{h}\right ]\left [ f^2(x+h)+f(x+h)f(x-h)+f^2(x-h) \right ]- 6xh$
Θέτω x-h=u

. $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}u= \lim_{h\rightarrow 0}(x-h)=x$ .
Γνωρίζουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .
Άρα $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x-h)-f(x) }{h} = \lim_{u\rightarrow x} \dfrac{f(u)-f(x) }{x-u} = -\lim_{u\rightarrow x} \dfrac{f(u)-f(x) }{u-x}= f'(u)$ .
Επίσης η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα και συνεχής στο

και στο

.

Συνεπώς $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} f(h) = f(0) =1$ .
Θέτοντας x+h= t

, έχουμε $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}t= x$ , οπότε $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}f(x+h)= \lim_{t\rightarrow x}f(t)=f(x)$ .
Ομοίως $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}f(x-h)= f(x)$ .

Τελικά έχουμε $\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{3}(x+h)-f^{3}(x-h)-6xh}{h}=0}$ $\Leftrightarrow$ 2f'(x) 3f^2(x) - 6x =0

$\Leftrightarrow$ f'(x) f^2(x) = x

.

(β) Ισχύει : f'(x) f^2(x) = x

$\Leftrightarrow$ 3f'(x) f^2(x) = 3x

$\Leftrightarrow$ $(f^3(x))' = \left ( \dfrac{3x^2}{2} \right )'$ .
Συνεπώς από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ συμπεραίνουμε ότι $f^3(x) = \dfrac{3x^2}{2} + c$ .
Θέτω x=0

από όπου προκύπτει c=1

. Επομένως $f^3(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 1$ .
Άρα f^3(x)>0

, $\forall x\in \mathbb{R}$ . Άρα και f(x)>0

, $\forall x\in \mathbb{R}$ .
Άρα $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{3x^{2}}{2}+1}$ .

(γ) (i) Είναι $f'(x)=\dfrac{x}{f^2(x)}$
Επομένως f'(x)<0

, $\forall x\in(-\infty , 0)$ $\Rightarrow$

: γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty , 0]$ .
Επίσης f'(x)>0

, $\forall x\in(0, +\infty )$ $\Rightarrow$

: γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ .
Συνεπώς η

παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x=0

, το

.

Θέτοντας $u=\dfrac{3x^{2}}{2}+1$ , έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }u= \lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( \dfrac{3x^{2}}{2} \right ) = +\infty$ ,
οπότε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ . Ομοίως $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Από την μονοτονία και την συνέχεια της

προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι το $[1,+\infty )$ .
Επίσης η

είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε $f'(x)=\left ( \dfrac{3}{2}x^2 +1 \right )^{-\frac{2}{3}}\cdot x$ .
Επί πλέον η

είναι παραγωγίσιμη . Συνεπώς έχουμε $f''(x)=\left ( \dfrac{3}{2}x^2 +1 \right )^{-\frac{2}{3}}\cdot \dfrac{-x^2 +2}{3χ^2+2}$ .
Από τα παραπάνω προκύπτουν :
f''(x)<0

, $\forall x\in(-\infty ,- \sqrt{2})$ $\Rightarrow$

: κοίλη στο $(-\infty ,- \sqrt{2} )$ .
f''(x)>0

, $\forall x\in(-\sqrt{2} , \sqrt{2})$ $\Rightarrow$

: κυρτή στο $(-\sqrt{2} , \sqrt{2} )$ .
f''(x)<0

, $\forall x\in(\sqrt{2},+\infty )$ $\Rightarrow$

: κοίλη στο $(\sqrt{2},+\infty)$ .
Επίσης ισχύει $f''(-\sqrt{2})=f''(\sqrt{2})=0$ .
Άρα σημεία καμπής τα $B (-\sqrt{2}, \sqrt[3]{4})$ και $C (\sqrt{2}, \sqrt[3]{4})$ .
Για τις ασύμπτωτες έχουμε :
Κατ' αρχάς η

δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύπτωτες αφού είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
Επίσης έχουμε
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt[3]{\frac{3x^2}{2}+1}}{-(-x)}} = \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (-\sqrt[3]{\frac{3x^2+1}{-2x^3}} \right ) = 0$ ,
αφού το όριο της ρητής συνάρτησης μέσα στη ρίζα είναι μηδέν.
Όμως $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ .
Άρα η

δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο $-\infty$ .
Ομοίως προκύπτει ότι η

δεν παρουσιάζει πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .
(γ)(ii)

: Επαναληπτική 2_2018.png (8.1 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Τροβαδούρος · #3

Για το τελευταίο

Με ΘΜΤ για την

αποδεικνύουμε ότι για κάθε $a,b\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ ισχύει:

$f(a)+f(b) \ge 2f(\dfrac{a+b}{2})=2f(\sqrt{\dfrac{14}{12}})$

άρα η ελάχιστη τιμή του

είναι η $2f(\sqrt{\dfrac{14}{12}})$ αφού επιτυγχάνεται για $a=b=\sqrt{\dfrac{14}{12}}$

Επαναληπτική 2/2018

Επαναληπτική 2/2018

Re: Επαναληπτική 2/2018

Re: Επαναληπτική 2/2018

Μέλη σε σύνδεση