Επαναληπτική 1/2018

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτική 1/2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Απρ 12, 2018 2:55 pm

Έστω η συνάρτηση f:\left [ 0,\pi \right ]\longrightarrow \mathbb{R} δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο, ώστε:

\blacklozenge \hspace{2mm} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{f(x)}{x-\pi}=-1


\blacklozenge \hspace{2mm} \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\left (\left ( f''(x) \right )^{2}+f^{2}(x)  \right )dx=\int_{0}^{\pi}\left (f'(x)  \right )^{2}dx+f'(0)f(0)

  • Να βρείτε τα f(\pi), f'(\pi).
  • Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \mathcal{I}=\int_{0}^{\pi}\left ( f''(x)+f(x) \right )^{2}dx.
  • Να αποδείξετε ότι f''(x)=-f(x), για κάθε x\in [0,\pi].
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=\Big ( f(x)-\sin x \Big )^{2}+\Big ( f'(x)-\cos x \Big )^{2} είναι σταθερή στο [0,\pi ].
  • Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Επαναληπτική 1/2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Παρ Απρ 13, 2018 1:35 pm

Kαλησπέρα, όμορφο θέμα!

α) Θέτοντας h(x)=\frac{f(x)}{x-\pi }, x\neq \pi , με lim_{x\rightarrow \pi }h(x)=-1 είναι lim_{x\rightarrow \pi }f(x)=0 άρα και f(\pi )=0 αφού η f συνεχής . ΄Έτσι και lim_{x\rightarrow \pi }\frac{f(x)-f(\pi )}{x-\pi }=-1\Rightarrow f'(\pi )=-1

β) Είναι, με παραγοντική, \int_{0}^{\pi }2f''(x)f(x)dx=-2f'(0)f(0)-2\int_{0}^{\pi }(f'(x))^{2}dx, άρα με τη δοσμένη ισότητα με ολοκλήρωμα είναι I=\int_{0}^{\pi }[(f''(x))^{2}+2f''(x)f(x)+f^{2}(x)]dx=0.

γ) Για την k(x)=[f''(x)+f(x)]^{2} είναι k(x)\geq 0 , x\epsilon [0,\pi] , αν η k δεν είναι παντού μηδέν. τότε \int_{0}^{\pi }k(x)dx>0, άτοπο λόγω του (β) ,άρα τελικά k(x)=0\Rightarrow f''(x)=-f(x),x\epsilon [0,\pi]

δ) Είναι g'(x)=2(f'(x)-cosx)(f''(x)+f(x))=0, λόγω του (γ), άρα η g είναι σταθερή στο [0,\pi]

ε)Είναι g(\pi )=0 και αφού η g είναι σταθερή, είναι g(x)=0, x\epsilon [0,1]\Rightarrow f(x)-sinx=0, f'(x)-cosx=0\Rightarrow f(x)=sinx, x\epsilon [0,\pi].


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης