Μονοτονία και ανίσωση

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8803
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μονοτονία και ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 16, 2018 6:33 pm

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle f δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle [0, + \infty ) με f(0)=0.

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x) = \frac{{f(x)}}{x} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle (0, + \infty )

β) Αν G είναι μία παράγουσα της g στο \displaystyle (0, + \infty ) να λύσετε την ανίσωση: \displaystyle G({x^4} + 3) - G({x^2} + 3) < G({x^4} + 2) - G({x^2} + 2)



Λέξεις Κλειδιά:
Andreas A.
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm

Re: Μονοτονία και ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas A. » Παρ Φεβ 16, 2018 8:32 pm

Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x]: \ \ \ \ \exists \rho \in (0,x) τέτοιο ώστε f'(\rho)=\frac{f(x)}{x}

Όμως \rho<x \overset{f'\uparrow}{\Rightarrow} \frac{f(x)}{x}<f'(x) \overset{x>0}{\Rightarrow} \boxed{xf'(x)-f(x)>0 \ \ \forall x \in (0,+\infty)} (1)

Παραγωγίζοντας την g: g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}>0 λόγω (1). Άρα g \uparrow στο (0,+\infty)

Θεωρούμε: h(x)=G(x+1)-G(x) , x\in(0,+\infty)
h'(x)=g(x+1)-g(x)>0 καθώς g \uparrow Άρα h \uparrow

G(x^4+3)-G(x^2+3)<G(x^4+2)-G(x^2+2)\Leftrightarrow G(x^4+3)-G(x^4+2)<G(x^2+3)-G(x^2+2) \Leftrightarrow h(x^4+2)<h(x^2+2)\overset{h \uparrow}{\Leftrightarrow}x^4+2<x^2+2 \Leftrightarrow x^2(x+1)(x-1)<0 \Leftrightarrow \boxed{x\in (-1,0) \cup(0,1)}


Ανδρέας Αλεξανδρής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης