Επαναληπτικό θέμα...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτικό θέμα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Φεβ 10, 2018 2:19 pm

Με \sin συμβολίζουμε το ημίτονο και με \cot τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}, με \displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1 τέτοια, ώστε για κάθε 0<x<\pi να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x είναι σταθερή στο (0,\pi) και να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}, x\in (0,\pi ).

  • Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω \displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right ) και \displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,\pi). Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή \overline{x} το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων A και B του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς \overline{x} και f\left ( \overline{x} \right ).
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 341
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Επαναληπτικό θέμα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Φεβ 10, 2018 9:09 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 2:19 pm
Με \sin συμβολίζουμε το ημίτονο και με \cot τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}, με \displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1 τέτοια, ώστε για κάθε 0<x<\pi να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x είναι σταθερή στο (0,\pi) και να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}, x\in (0,\pi ).

  • Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω \displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right ) και \displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,\pi). Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή \overline{x} το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων A και B του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς \overline{x} και f\left ( \overline{x} \right ).
Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Είναι g'(x)= 2f(x)sin^{2} x (f'(x)-f(x) cotx =0) από την δοθείσα. (Ισχύει ότι: -cot(\pi-x)=cotx)
Άρα από Πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε ότι g(x)=c και επειδή g(\frac{\pi}{2})=1, συμπεραίνουμε g(x)=1 .
Άρα f^2(x)=\dfrac{1}{sin^2x} , \forall x\in (0,\pi ) .
Επίσης f(x)\neq 0,\,\,\,\,\forall x\in(0,\pi) και επειδή η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό
η f διατηρεί πρόσημο. Όμως f(\frac{\pi}{2})=1>0 . Άρα f(x)>0 και f(x) = \dfrac{1}{sinx} .

(β) Θεωρώ την g(x)= f(x)-x . Είναι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left ( \dfrac{1}{sinx}-x \right )=+\infty , διότι
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left (sinx \right )=0 , sinx>0 όταν x\rightarrow 0^+ άρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left ( \dfrac{1}{sinx} \right )=+\infty .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι υπάρχει ένας αριθμός a κοντά στο 0 ώστε h(a)>0 .
Επί πλέον h\left (\frac{\pi }{2} \right )=f\left ( \frac{\pi }{2} \right )-\frac{\pi }{2}=1-\frac{\pi }{2}<0 .
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την f στο [a,\frac{\pi}{2}] .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x_1 \in (a, \frac{\pi}{2}) ώστε h(x_1)=0 δηλαδή f(x_1)=x_1.
Ομοίως εργαζόμενοι στο διάστημα [\frac{\pi}{2}  ,  \pi] προκύπτει h(x_2)=0 δηλαδή f(x_2)=x_2.

Επίσης ισχύει h'(x)=-\dfrac{cotx}{sinx}-1 και h''(x)=f''(x)=\dfrac{1+cos^2 x}{sin^3 x }>0 ,\,\,\,\,\forall x\in\left ( 0,\dfrac{\pi }{2} \right ) .
Επομένως η f κυρτή (μας χρειάζεται στο γ) και η h' γνησίως αύξουσα.
Τώρα αν υποθέσουμε ότι η h έχει τρεις ρίζες στο (0,\pi) ,εφαρμόζοντας δύο φορές το θεώρημα Rolle
στην h προκύπτουν δύο ρίζες στην h' , άτοπο αφού η h' γνησίως αύξουσα.
Άρα η h έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (0,\pi) .

(γ) Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην f στο διάστημα [x_1,\overline{x}] έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi _1 \in (x_1 ,\overline{x}) ώστε f'(\xi _1)= \dfrac{f(\overline{x})-f(x_1)}{\overline{x}-x_1} = \dfrac{f(\overline{x})-f(x_1)}{\dfrac{x_2-x_1}{2}} .
Ομοίως εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην f στο διάστημα [\overline{x} , x_2] έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi _2 \in (\overline{x} , x_2) ώστε f'(\xi _2)= \dfrac{f(x_2)-f(\overline{x})}{x_1-\overline{x}} = \dfrac{f(x_2)-f(\overline{x})}{\dfrac{x_2-x_1}{2}} .
Όμως η f' είναι γνησίως αύξουσα αφού η f είναι κυρτή .
Άρα  f'(\xi _1) <f'(\xi _2) , οπότε προκύπτει f(\overline{x})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}= \dfrac{x_1+x_2}{2} = \overline{x} , από το προηγούμενο υποερώτημα.
(Δηλαδή εφαρμόσαμε ανισότητα Jensen....)

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1520
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Επαναληπτικό θέμα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Φεβ 10, 2018 10:19 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 2:19 pm
Με \sin συμβολίζουμε το ημίτονο και με \cot τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}, με \displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1 τέτοια, ώστε για κάθε 0<x<\pi να ισχύει:

\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x είναι σταθερή στο (0,\pi) και να προσδιορίσετε τον τύπο της f.

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}, x\in (0,\pi ).

  • Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω \displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right ) και \displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,\pi). Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή \overline{x} το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων A και B του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς \overline{x} και f\left ( \overline{x} \right ).
Φιλικά,
Μάριος
...Καλησπέρα :logo: ....

α) Είναι \displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,\pi) με {g}'(x)=2f(x){f}'(x){{\sin }^{2}}x+2{{f}^{2}}(x)\sin x\cos x ή

{g}'(x)=2f(x)si{{n}^{2}}x({f}'(x)+f(x)\cot x)=0 γιατί σύμφωνα με την υπόθεση {f}'(x)=f(x)\cot (\pi -x)\Leftrightarrow {f}'(x)=-f(x)\cot (x)

άρα η g(x)={{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x είναι σταθερή στο (0,\pi) δηλαδή υπάρχει c\in R ώστε

g(x)=c\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x=cστο (0,\pi) και επειδή

\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1 είναι {{f}^{2}}(\frac{\pi }{2}){{\sin }^{2}}\frac{\pi }{2}=c\Leftrightarrow 1=c επομένως

{{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x=1\ne 0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow |f(x)|=\frac{1}{\sin x} αφού

\sin x>0,\,\,x\in (0,\,\pi ) και ακόμη επειδή από την ισότητα επίσης f(x)\ne 0,\,\,x\in (0,\,\pi ) και συνεχής

άρα έχει σταθερό πρόσημο , με f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1>0 έτσι και f(x)>0,\,\,x\in (0,\,\pi ), επομένως f(x)=\frac{1}{\sin x},\,\,x\in (0,\,\pi )

β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}-x=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (0,\,\pi ).

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=\frac{1}{\sin x}-x,\,\,x\in (0,\,\pi ) που είναι συνεχής με

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{\sin x}-x)=+\infty άρα υπάρχει

\alpha >0,\,\,g(a)>0 και g(\frac{\pi }{2})=1-\frac{\pi }{2}<0 και με \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{\sin x}-x)=+\infty άρα υπάρχει

\beta <\pi ,\,\,g(\beta )>0 επομένως g(a)(g(\frac{\pi }{2})<0,\,\,g(\beta )g(\frac{\pi }{2})<0 και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

υπάρχουν {{x}_{1}}\in (a,\,\frac{\pi }{2}),\,\,{{x}_{2}}\in (\frac{\pi }{2},\,\beta ) ώστε g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0.

Αν υποθέσουμε τώρα ότι η g(x)=0έχει τρείς ρίζες 0<{{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}<\pi τότε στα διαστήματα

[{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,\,[{{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}] αφού η g παραγωγίσιμη με {g}'(x)=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}-1,\,\,x\in (0,\,\pi )

σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η {g}'(x)=0 θα έχει δύο ρίζες στο (0,\,\,\pi ) που είναι άτοπο γιατι

{g}''(x)=...=\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,x\in (0,\,\pi ) οπότε η {g}' γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

γ) Είναι {f}'(x)=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x},\,\,x\in (0,\,\pi ) και {f}''(x)=\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,x\in (0,\,\pi ) άρα η

f είναι κυρτή στο (0,\pi). Τώρα \bar{x}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,\,f(\bar{x})=f\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right) και

εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [{{x}_{1}},\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}],\,\,[\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,{{x}_{2}}]

λόγω της μονοτονίας της {f}' προκύπτει ότι f(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2})<\frac{f({{x}_{1}})+f({{x}_{2}})}{2} και επειδή από (β)

f({{x}_{1}})={{x}_{1}},\,f({{x}_{2}})={{x}_{2}} ισχύει ότι

f(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2})<\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}\Leftrightarrow f(\bar{x})<\bar{x}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης