Με ημίτονο και λογάριθμο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με ημίτονο και λογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Φεβ 07, 2018 6:35 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:\left ( 0,+\infty  \right )\longrightarrow \mathbb{R} με f(x)=\sin \left ( \log x \right ).

(α) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.

(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω p(x), τέτοιο ώστε να ισχύει:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-p(x)}{\left ( x-1 \right )^{2}}=0} Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;

(γ) Αν \rho _{1},\rho _{2} οι δύο ρίζες της f στο διάστημα \left ( 0,e^{\pi } \right ] με \rho _{1}<\rho _{2} και \displaystyle{p(x)=-\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{3}{2}} τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{I=\int_{\rho _{1}}^{\rho _{2}}f(x)p(x)\textup{d}x} Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 341
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Φεβ 07, 2018 10:04 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2018 6:35 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:\left ( 0,+\infty  \right )\longrightarrow \mathbb{R} με f(x)=\sin \left ( \log x \right ).

(α) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.

(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω p(x), τέτοιο ώστε να ισχύει:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-p(x)}{\left ( x-1 \right )^{2}}=0} Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;

(γ) Αν \rho _{1},\rho _{2} οι δύο ρίζες της f στο διάστημα \left ( 0,e^{\pi } \right ] με \rho _{1}<\rho _{2} και \displaystyle{p(x)=-\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{3}{2}} τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{I=\int_{\rho _{1}}^{\rho _{2}}f(x)p(x)\textup{d}x} Φιλικά,
Μάριος[/b0

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...
α) Κατ΄αρχάς υποθέτω ότι ο Μάριος εννοεί φυσικό και όχι δεκαδικό λογάριθμο...
Δεν αλλάζει και τίποτα. Απλώς στον δεκαδικό εμφανίζεται συνεχώς το ln10. Κούραση ... :lol:
Είναι f(x)=0\Leftrightarrow sin(lnx)=sin 0\Leftrightarrow lnx=\kappa \pi \Leftrightarrow x=e^{\kappa \pi } , \kappa \in \mathbb{Z} .
Συνεπώς η C_f τέμνει τον άξονα xx' σε άπειρα σημεία της μορφής  (e^{\kappa \pi },0) .

(β) Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=\dfrac{sin(lnx)-(ax^2+bx+c)}{(x-1)^2}, όπου p(x)=ax^2+bx+c , a\neq 0 .
Είναι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \left [ sin(lnx)-(ax^2+bx+c) \right ] = -(a+b+c) , \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} (x-1)^2 = 0 και (x-1)^2 >0 , κοντά στο 1 .
Αν a+b+c\neq 0 τότε \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x) =\pm \infty  , αναλόγως του προσήμου των συντελεστών του p(x) .
Άρα πρέπει : a+b+c=0 \Leftrightarrow b=-a-c (1) .

Αντικαθιστώντας την (1) στον τύπο της g έχουμε :
g(x)=\dfrac{sin(lnx)-(x-1)(ax-c)}{(x-1)^2}  =  \dfrac{ \dfrac{sin(lnx)}{x-1}-(ax-c)}{x-1} .
Εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital προκύπτει : \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}  \dfrac{sin(lnx)}{x-1} = 1 .
Άρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}  \left [ \dfrac{sin(lnx)}{x-1} -(ax-c)  \right ]= 1-a+c .
Αν 1-a+c\neq 0 τότε το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x)    δεν υπάρχει.
Επομένως 1-a+c=0 \Leftrightarrow c=a-1 (2) .

Αντικαθιστώντας, ξανά, την (2) στον τύπο της g έχουμε : g(x)=  \dfrac{ sin(lnx)-(x-1)}{(x-1)^2}  -a .
Άρα εφαρμόζοντας,δύο φορές, κανόνα de L' Hospital προκύπτει :
\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1}  \dfrac{   sin(lnx)-(x-1) }{ (x-1)^2 }   = - \dfrac{1}{2} . Άρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}  g(x) =  - \dfrac{1}{2} -a .
Επειδή θέλουμε \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}  g(x) =  0 , πρέπει a=  - \dfrac{1}{2} .
Αντικαθιστώντας στις (1) και (2) έχουμε b=2 και c=  - \dfrac{3}{2} .
Άρα p(x)=-\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{3}{2} .
To πολυώνυμο είναι μοναδικό.

(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα \left ( 0,e^{\pi } \right ] φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής  e^{\kappa \pi } με  \kappa όλους τους ακεραίους
στο διάστημα  (-\infty ,1] .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1747
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Φεβ 07, 2018 10:45 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2018 10:04 pm
Συνεπώς η C_f τέμνει τον άξονα xx' σε άπειρα σημεία της μορφής  (e^{\kappa \pi },0) .
.....
(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα \left ( 0,e^{\pi } \right ] φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής  e^{\kappa \pi } με  \kappa όλους τους ακεραίους
στο διάστημα  (-\infty ,1] .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Εννοείς μάλλον το διάστημα  (0 ,1] αντί του  (-\infty ,1] γιατί, \displaystyle k \in {Z^ - } \Rightarrow {e^{k\pi }} = \frac{1}{{{e^{|k|\pi }}}} > 0 , άρα έχει άπειρες ρίζες και όχι δύο μόνο, μπορούμε να πούμε όμως ότι υπάρχουν δύο διαδοχικές.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Φεβ 08, 2018 2:02 pm

Μάλλον η διατύπωση που έθεσα μπάζει. Ας πούμε για τώρα να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{I=\int_{1}^{e^{\pi }}f(x)p(x)\textup{d}x}


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης