Μελέτη με παράμετρο

#1

Α. Δίνεται ο θετικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}\,$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .
γ) Για $\displaystyle a = 4$ να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της $\displaystyle f$
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε $\displaystyle a\in R$ .
ε) Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle 0<k<a$ τότε η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=kx$ έχει τρία κοινά σημεία με τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
στ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+\sin f(x)}{f(x)-\sin f(x)}$
Β. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle a=1$ και ότι η $\displaystyle f$ ορίζεται στο διάστημα $\displaystyle [0,1]$
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f,\,\,{{f}^{-1}}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle 2x+2y=3$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 10:25 pm
Α. Δίνεται ο θετικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}\,$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .
γ) Για $\displaystyle a = 4$ να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της $\displaystyle f$
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε $\displaystyle a\in R$ .
ε) Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle 0<k<a$ τότε η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=kx$ έχει τρία κοινά σημεία με τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
στ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+\sin f(x)}{f(x)-\sin f(x)}$
Β. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle a=1$ και ότι η $\displaystyle f$ ορίζεται στο διάστημα $\displaystyle [0,1]$
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f,\,\,{{f}^{-1}}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle 2x+2y=3$ .

...Καλησπέρα

γειά σου Γιώργη...ξεκινάω την λύση...

) Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}\,$ ορίζεται για κάθε $x\in R$ και είναι παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=a\frac{{{x}^{2}}+1-x({{x}^{2}}+1{)}'}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{a-a{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}$ .

Τώρα στην περίπτωση που a=0

είναι $f(x)=0,\,\,x\in R$

Στην περίπτωση που $a\ne 0$ έχουμε ότι ${f}'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ x=-1 \right.,\,\,\left. x=1 \right\}$ και

για a>0

είναι ${f}'(x)>0\Leftrightarrow -a{{x}^{2}}-a>0\Leftrightarrow -1<x<1$ οπότε

γνήσια αύξουσα στο [-1,1]

και είναι ${f}'(x)<0\Leftrightarrow -a{{x}^{2}}-a<0\Leftrightarrow x<-1,\,\,x>1$ οπότε

γνήσια φθίνουσα στα

$(-\infty ,\,-1],\,\,[1,\,\,+\infty )$ έτσι στο σημείο x=-1

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το $f(-1)=-\frac{a}{2}$

και στο σημείο x=1

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το $f(1)=\frac{a}{2}$

για a<0

είναι ${f}'(x)<0\Leftrightarrow -a{{x}^{2}}-a>0\Leftrightarrow -1<x<1$ οπότε

γνήσια φθίνουσα στο [-1,1]

και είναι

${f}'(x)>0\Leftrightarrow -a{{x}^{2}}-a>0\Leftrightarrow x<-1,\,\,x>1$ οπότε

γνήσια αύξουσα στα $(-\infty ,\,-1],\,\,[1,\,\,+\infty )$

έτσι στο σημείο x=-1

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το $f(-1)=-\frac{a}{2}$ και στο σημείο x=1

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το $f(1)=\frac{a}{2}$

Ακόμη ${f}''(x)=a{{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}} \right)}^{\prime }}=...=\frac{2a{{x}^{3}}-6ax}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}=\frac{2ax({{x}^{2}}-3)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}$ και

${f}''(x)=0\Leftrightarrow \left\{ x=-\sqrt{3} \right.,\,x=0,\,\left. x=\sqrt{3} \right\}$

και όταν a>0

είναι ${f}''(x)>0\Leftrightarrow \left\{ -\sqrt{3} \right.<x<0,\,\left. x>\sqrt{3} \right\}$ και

${f}''(x)<0\Leftrightarrow \left\{ x<-\sqrt{3} \right.,\,\,\left. 0<x<\sqrt{3} \right\}$

οπότε κυρτή στα $[-\sqrt{3},\,0],\,\,[\sqrt{3},\,+\infty )$ και κοίλη στα $(-\infty ,\,-\sqrt{3}],\,\,[0,\,\,\sqrt{3}]$

και και όταν a>0

είναι ${f}''(x)<0\Leftrightarrow \left\{ -\sqrt{3} \right.<x<0,\,\left. x>\sqrt{3} \right\}$ και

${f}''(x)>0\Leftrightarrow \left\{ x<-\sqrt{3} \right.,\,\,\left. 0<x<\sqrt{3} \right\}$ οπότε κοίλη στα

$[-\sqrt{3},\,0],\,\,[\sqrt{3},\,+\infty )$ και κυρτή στα $(-\infty ,\,-\sqrt{3}],\,\,[0,\,\,\sqrt{3}]$

Επομένως τα σημεία και όταν $(-\sqrt{3},\,f(-\sqrt{3})),\,\,(0,\,f(0)),\,\,(\sqrt{3},\,\,f(\sqrt{3}))$ είναι και τα σημεία καμπής της

β) Επειδή η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, και για $a\ne 0$ είναι επειδή

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{ax}{{{x}^{2}}})=0$ και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{ax}{{{x}^{2}}})=0$ έχει στο $-\infty ,\,\,+\infty$ ασύμπτωτη τον άξονα {x}'x

.

Για

έχει σύνολο τιμών το διάστημα $[-\frac{a}{2},\,\,\frac{a}{2}]$ και για a<0

έχει σύνολο τιμών το διάστημα $[\frac{a}{2},\,\,-\frac{a}{2}]$

...έχει δρόμο ακόμη...τώρα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταμ. Γλάρος · #3

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα . Ανεβάζω προς το παρόν δύο σχήματα για το Α.γ και το Β.β.
Α. γ)

: Μελέτη με παράμετρο.png (29.73 KiB) Προβλήθηκε 2762 φορές

Β. β)

: β.Μελέτη με παράμετρο.png (30.99 KiB) Προβλήθηκε 2762 φορές

Θα επανέλθω και για τα υπόλοιπα , αν δεν προλάβει κάποιος άλλος ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Σταμ. Γλάρος · #4

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 10:25 pm
Α. Δίνεται ο θετικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{ax}{{{x}^{2}}+1}\,$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
β) Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .
γ) Για $\displaystyle a = 4$ να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της $\displaystyle f$
δ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μία από τις εφαπτόμενες στα σημεία καμπής διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε $\displaystyle a\in R$ .
ε) Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle 0<k<a$ τότε η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=kx$ έχει τρία κοινά σημεία με τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
στ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+\sin f(x)}{f(x)-\sin f(x)}$
Β. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle a=1$ και ότι η $\displaystyle f$ ορίζεται στο διάστημα $\displaystyle [0,1]$
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ .
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f,\,\,{{f}^{-1}}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle 2x+2y=3$ .

Καλησπέρα και πάλι . Επανέρχομαι ...
δ) Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο καμπής $A\left ( -\sqrt{3} , f(-\sqrt{3})\right )$ είναι : $ax+8y+3a\sqrt{3}=0$ (1)
Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί οικογένεια ευθειών.
Θέτοντας a=1

έχουμε μία ευθεία από την οικογένεια την $x+8y+3\sqrt{3}=0$ και θέτοντας a=2

έχουμε την ευθεία $2x+8y+6\sqrt{3}=0$ .
Το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών είναι το $(-3\sqrt{3},0)$ του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την (1).
Άρα όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το $(-3\sqrt{3},0)$ .
Η δεύτερη οικογένεια ευθειών στο σημείο καμπής O(0,0)

είναι η

. Εύκολα βρίσκουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται
από το O(0,0)

.
Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο στο σημείο καμπής $B\left ( \sqrt{3} , f(\sqrt{3})\right )$ έχουμε την εξίσωση $ax+8y-3a\sqrt{3}=0$ (2)
από την οποία προκύπτει ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το $(3\sqrt{3},0)$ .
Τα σημεία καμπής τα βρήκε ο Βασίλης σε προηγούμενο υποερώτημα.

ε) Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x) = f(x) -kx= x\left ( \dfrac{a}{x^2 +1} -k\right )$ .
Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } g(x) =+\infty$ .
Συνεπώς υπάρχει x_1 <0

ώστε

.
Επίσης η g παίρνει την μορφή $g(x) = x\left ( \dfrac{-kx^2+a-k}{x^2 +1} \right )$ .
Θεωρώντας τώρα $x_1<x_2=\dfrac{k-a}{2k}$ έχουμε $g(x_2)=\dfrac{3(k-a)(a-k)}{2k\left [ \frac{(k-a)^2}{4k^2}+1 \right ]} <0$ .
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο διάστημα [x_1 , x_2]

.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία αρνητική ρίζα της

.
Τώρα παρατηρούμε ότι η ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο καμπής

και την αρχή των αξόνων είναι η $y=\dfrac{a}{4}x$ .
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις :
i) $0<k<\dfrac{a}{4}$ . Τότε η y=kx

έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με την C_f

με τετμημένη $x_1\in(-\infty, -\sqrt{3})$
διότι g'(x) =f'(x)-k <0

επειδή $f'(x)<0 ,\,\,\,\forall x \in (-\infty , -1)$ όπως απέδειξε ο Βασίλης.
ii) $\dfrac{a}{4} \leq k<a$ . Στην περίπτωση αυτή η C_f

είναι κυρτή στο $[-\sqrt{3},0]$ .
Η y=ax

εφάπτεται της C_f

στο

. Άρα η

βρίσκεται πάνω από την y=ax

.
Επομένως κάθε ευθεία της μορφής y=kx

με $\dfrac{a}{4} \leq k<a$ είναι χορδή της C_f

.
Άρα τέμνει την C_f

σε ένα ακόμη σημείο εκτός από το O(0,0)

, του οποίου η τετμημένη ανήκει στο $(-\sqrt{3},0)$

Άρα κάθε ευθεία με εξίσωση y=kx

έχει ακριβώς ένα σημείο με την C_f

με τετμημένη στο $(-\infty , 0)$ .
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι κάθε ευθεία με εξίσωση y=kx

έχει ακριβώς ένα σημείο με την C_f

με τετμημένη στο $(0,+\infty , 0)$ .
Το τρίτο σημείο είναι το O(0,0)

.
Δεν ξέρω αν η λύση αυτή είναι αποδεκτή καθότι είναι περιγραφική. Μου μοιάζει σαν γεωμετρική ερμηνεία ...

στ) Θέτω u=f(x)

. Επειδή όταν $x\rightarrow+\infty$ , $f(x)\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0$
Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{sinf(x)}{f(x)}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{sinu}{u}=1$
Επίσης έχουμε : f(x)>0

όταν

. Άρα

$\Leftrightarrow \dfrac{sinf(x)}{f(x)}<1\Leftrightarrow 1-\dfrac{sinf(x)}{f(x)}>0$ .
Επιπλέον ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1-\frac{sinf(x)}{f(x)} \right ) =0$ .
Άρα $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+\sin f(x)}{f(x)-\sin f(x)}= \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{\sin f(x)}{f(x)}}{1-\frac{\sin f(x)}{f(x)}}= +\infty$ .

B) α) Για a=1

έχουμε $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ με $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2+1}>0,\,\,\,\,\,\forall x\in(0,1)$ .
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1]

οπότε και 1-1. Επομένως η

αντιστρέφεται.
Επίσης $f\left ( [0,1] \right )=\left [0,\frac{1}{2} \right ]$ .
Θέτοντας y=f(x)

έχουμε ισοδυνάμως την δευτεροβάθμια yx^2-x+y=0

.
Αποδεκτή λύση της λόγω περιορισμών είναι η $x=\dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}$ .
Άρα η αντίστροφη είναι η $f^{-1}(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2x}$ .

γ) Από το σχήμα του β) παραπάνω προκύπτει:
$E(\Omega )=2\cdot \displaystyle {\int_{0}^{\frac{3}{4}}\left (x-\dfrac{x}{x^2+1} \right ) dx$ $+ 2\cdot \displaystyle {\int_{\frac{3}{4}}^{1}\left (\frac{3}{2}-x-\dfrac{x}{x^2+1} \right ) dx =$
$=2\cdot \displaystyle {\int_{0}^{\frac{3}{4}}\left (x-\dfrac{1}{2} \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} \right ) dx$ $+ 2\cdot \displaystyle {\int_{\frac{3}{4}}^{1}\left (\frac{3}{2}-x-\dfrac{1}{2} \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} \right ) dx =$ ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#5

Ευχαριστώ τους φίλους Βασίλη και Σταμάτη για τη διαπραγμάτευση

Υ. Γ. Το Α (ε) μπορεί να γίνει και αλγεβρικά....

#6

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 8:45 am
Υ. Γ. Το Α (ε) μπορεί να γίνει και αλγεβρικά....

Καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση $\displaystyle \frac{{ax}}{{{x^2} + 1}} = kx$ έχει την προφανή λύση x=0.

Για $x\ne 0,$ είναι $\displaystyle \frac{a}{{{x^2} + 1}} = k \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{a - k}}{k} > 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \pm \sqrt {\frac{{a - k}}{k}} }$

Μου θυμίζει το ερώτημα (δ) του

ου θέματος στις Πανελλήνιες του 2005.

Μπορούσε να απαντηθεί με ύλη Α' Λυκείου.

Ζητούσε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x^{2007}}}}{{2007}} = \frac{1}{{2008}}$ έχει ακριβώς μία λύση στο (0, 1).

Είχε σπάσει τα ταμεία ο Bolzano!

Σταμ. Γλάρος · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:43 am

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 8:45 am
Υ. Γ. Το Α (ε) μπορεί να γίνει και αλγεβρικά....
Καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση $\displaystyle \frac{{ax}}{{{x^2} + 1}} = kx$ έχει την προφανή λύση

Για $x\ne 0,$ είναι $\displaystyle \frac{a}{{{x^2} + 1}} = k \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{a - k}}{k} > 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \pm \sqrt {\frac{{a - k}}{k}} }$

Μου θυμίζει το ερώτημα (δ) του ου θέματος στις Πανελλήνιες του Μπορούσε να απαντηθεί με ύλη Α' Λυκείου.

Ζητούσε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x^{2007}}}}{{2007}} = \frac{1}{{2008}}$ έχει ακριβώς μία λύση στο Είχε σπάσει τα ταμεία ο

Φοβερό! Και να φανταστείτε ... επιστράτευσα μονοτονίες κυρτότητες και δεν συμμαζεύεται!
Και ήταν τόσο απλό(;)...
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
Όπως επίσης είμαι σίγουρος ότι ο Γιώργης, ο Γιώργος και τόσοι άλλοι στο

κατέχουν αυτή την ομορφιά.
Και μας την προσφέρουν απλόχερα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #8

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 11:56 am
.....
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
.....

και με την πολύ εύστοχη διαπίστωση αυτής της πρότασης του Σταμάτη να μοιραστώ μαζί σας ένα ερώτημα που με σπαζοκεφάλιασε πριν μερικές εβδομάδες.

Μετά απο διαγώνισμα με συνέχειες όρια ορισμό παραγώγου σε θέμα Δ συνάντησα το εξής ερώτημα Δ4:

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R^*$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

#9

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R^*$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Άμεσο από την $\displaystyle{ \left | f(x)\right | = \frac {\left | \sin x\right |} {\left | f^2(x)+1\right |} < |\sin x|}$

(υπόψη ότι ο παρονομαστής είναι γνήσια μεγαλύτερος του

αφού η

παίρνει τιμές στο $\mathbb R ^*$ ).

#10

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R^*$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Με τι ισούται άραγε το f(0)

;

Christos.N · #11

Εγώ Δημήτρη έχω άλλη μια απορία , υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Οι μαθητές μας όταν αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα είναι πιο άμεσοι από εμάς και πιο "σπίρτα " , έχω πιάσει τον εαυτό μου να εχει πελαγώσει από τα δεδομένα ενός προβλήματος σαν αυτό και να μην μπορώ να λύσω κάτι γιατί δεν έχει γινει ξεκάθαρο στην αντίληψή μου η συμπεριφορά ενός ερωτήματος. Αλλά είπαμε $0\Rightarrow 1$ αληθής.

Υ.Γ. Επειδή την έγραφα από μνήμης ή ανίσωση μπορεί να μην ήταν γνήσια. Υπάρχει κάποια παράμετροποίηση στα δεδομενα όμως που θα μπορούσε να είναι και αυτή.

#12

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:06 pm
Εγώ Δημήτρη έχω άλλη μια απορία , υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Αν προσπαθήσεις να υπολογίσεις το f(0)

θα δεις ότι δεν υπάρχει.

Christos.N · #13

Δυστυχώς με πρόλαβες δες το υστερόγραφο όμως που έχω ενσωματώσει στην προηγούμενη δημοσίευση.

#14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:15 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R^*$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .
Άμεσο από την $\displaystyle{ \left | f(x)\right | = \frac {\left | \sin x\right |} {\left | f^2(x)+1\right |} < |\sin x|}$

(υπόψη ότι ο παρονομαστής είναι γνήσια μεγαλύτερος του αφού η παίρνει τιμές στο $\mathbb R ^*$ ).

Τελικά η σωστή διατύπωση μετά την επισήμανση του Δημήτρη είναι (κάνω δύο αλλαγές):

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to {\color {red} R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) {\color {red}\le }|\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

H απόδειξη που έγραψα πριν, περνάει για την περίπτωση του διορθωμένου (αλλά η ανισότητα είναι γνήσια στις περιπτώσεις που $f(x)\ne 0$ , από κεί και πέρα είναι " $\le$ ").

Christos.N · #15

Είτε η παραλλαγή

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R ^*\to R$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R^*$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

#16

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:36 pm
Είτε η παραλλαγή

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R ^*\to R$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R^*$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Χρήστο, δεν είναι σωστή η διόρθωση αυτή. Π.χ. για $x=\pi$ η αρχική υπόθεση δίνει f(x)=0

, οπότε δεν ισχύει η γνήσια ανισότητα στο αποδεικτέο.

Αν θέλουμε να κάνουμε διόρθωση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να διατηρήσουμε την γνήσια ανισότητα στο συμπέρασμα, τότε πρέπει να ορίσουμε την

στο $\mathbb R - \{k\pi \, : k \in \mathbb Z \}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 7:07 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 11:56 am
.....
Τελικά το απλό είναι εύκολο; Δεν είμαι σίγουρος. Είμαι σίγουρος ότι είναι πιο όμορφο.
.....
και με την πολύ εύστοχη διαπίστωση αυτής της πρότασης του Σταμάτη να μοιραστώ μαζί σας ένα ερώτημα που με σπαζοκεφάλιασε πριν μερικές εβδομάδες.

Μετά απο διαγώνισμα με συνέχειες όρια ορισμό παραγώγου σε θέμα Δ συνάντησα το εξής ερώτημα Δ4:

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R^*$ για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = \sin x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle f\left( x \right) < |\sin x|$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

$f(x)=\sqrt[3]{\frac{\sin x}{2}+\sqrt{\frac{(\sin x)^{2}}{4}+\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{\sin x}{2}-\sqrt{\frac{(\sin x)^{2}}{4}+\frac{1}{27}}}$

Christos.N · #18

Σταύρο να δεχτούμε το υπόριζο στον δεύτερο όρο του αθροίσματος, πως έφτασες όμως σε αυτό το συμπέρασμα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #19

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 05, 2017 11:45 am
Σταύρο να δεχτούμε το υπόριζο στον δεύτερο όρο του αθροίσματος, πως έφτασες όμως σε αυτό το συμπέρασμα;

Γεια σου Χρήστο.

Πήγα στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
μέθοδο Cardano .Πήρα τον τύπο και την βρήκα.

Εννοείται ότι η $\sqrt[3]{x}$ ορίζεται για $x\in \mathbb{R}$

Μελέτη με παράμετρο

Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Re: Μελέτη με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση