Περιβάλλουσα και εμβαδά

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Περιβάλλουσα και εμβαδά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Οκτ 19, 2017 9:40 am

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle a,b\in (0,4) και τα σημεία \displaystyle A(a,0),\,\,B(0,4-a),\,\,C(b,0),\,\,D(0,4-b).
α) Να προσδιορίσετε το σημείο τομής \displaystyle E των ευθειών \displaystyle AB,CD
β) Να βρείτε τη γραμμή \displaystyle C στην οποία ανήκει το \displaystyle E καθώς \displaystyle b\to a
γ) Να δείξετε ότι κάθε εφαπτομένη της \displaystyle C έχει τη μορφή της \displaystyle AB για κάποιο \displaystyle a\in (0,4)
Έστω \displaystyle f η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η γραμμή \displaystyle C όταν \displaystyle x\in (0,4)
δ) Να ορίσετε κατάλληλα την \displaystyle f ώστε να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,4] .
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle C και τους θετικούς ημιάξονες
ζ) Αν η τυχαία εφαπτομένη της \displaystyle C τέμνει τους άξονες στα \displaystyle K,M , να βρείτε τη μέγιστη τιμή
που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle OKM


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Περιβάλλουσα και εμβαδά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Οκτ 20, 2017 1:42 am

exdx έγραψε:
Πέμ Οκτ 19, 2017 9:40 am
Έστω οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle a,b\in (0,4) και τα σημεία \displaystyle A(a,0),\,\,B(0,4-a),\,\,C(b,0),\,\,D(0,4-b).
α) Να προσδιορίσετε το σημείο τομής \displaystyle E των ευθειών \displaystyle AB,CD
β) Να βρείτε τη γραμμή \displaystyle C στην οποία ανήκει το \displaystyle E καθώς \displaystyle b\to a
γ) Να δείξετε ότι κάθε εφαπτομένη της \displaystyle C έχει τη μορφή της \displaystyle AB για κάποιο \displaystyle a\in (0,4)
Έστω \displaystyle f η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η γραμμή \displaystyle C όταν \displaystyle x\in (0,4)
δ) Να ορίσετε κατάλληλα την \displaystyle f ώστε να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,4] .
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle C και τους θετικούς ημιάξονες
ζ) Αν η τυχαία εφαπτομένη της \displaystyle C τέμνει τους άξονες στα \displaystyle K,M , να βρείτε τη μέγιστη τιμή
που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle OKM
...μια προσπάθεια στα (α),(β)....

α) Είναι A\Beta :\frac{x}{a}+\frac{y}{4-a}=1\Leftrightarrow (4-a)x+ay=a(4-a) και

CD:\,\,\frac{x}{b}+\frac{y}{4-b}=0\Leftrightarrow (4-b)x+by=b(4-b) και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων τους προκύπτει

E\left( \frac{1}{4}ab,\,\frac{1}{4}(4-a)(4-b) \right) ( με a\ne b)

β) Οταν \displaystyle b\to a τότε E\left( \frac{1}{4}{{a}^{2}},\,\frac{1}{4}{{(4-a)}^{2}} \right) επομένως

x=\frac{1}{4}{{a}^{2}},\,\,y=\frac{1}{4}{{(4-a)}^{2}} με x,\,y>0 και 2\sqrt{x}=a,\,\,2\sqrt{y}=4-a

επομένως με απαλοιφή του a προκύπτει ότι 2\sqrt{y}=4-2\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{y}=2-\sqrt{x}\Leftrightarrow y=4+x-4\sqrt{x} με

x\in (0,\,\,4),\,\,y\in (0,\,\,4) επομένως όταν \displaystyle b\to a το σημείο τομής

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=4+x-4\sqrt{x},\,\,x\in (0,\,4)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περιβάλλουσα και εμβαδά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 20, 2017 11:39 am

Καλημέρα σε όλους!

Τα υπόλοιπα ερωτήματα.
γ) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο x_0 είναι : \displaystyle y - f({x_0}) = f'({x_0})(x - {x_0})

\displaystyle f'({x_0}) = \frac{{a - 4}}{a} \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} }} = \frac{{a - 4}}{a} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{{a^2}}}{4} \in (0,4), (αφού a\in (0,4)) και η εξίσωση της

εφαπτομένης γράφεται πλέον στη μορφή της AB.

δ) \displaystyle f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 4 - 4\sqrt x ) = 4,f(4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (x + 4 - 4\sqrt x ) = 0. Άρα: \displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
x + 4 - \sqrt x ,x \in (0,4)\\ 
4,x = 0\\ 
0,x = 4 
\end{array} \right.

ε) \displaystyle f(x) = {(\sqrt x  - 2)^2} \ge 0, άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: \displaystyle E = \int_0^4 {f(x)dx = \left[ {4x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{8}{3}x\sqrt x } \right]} _0^4 = \frac{8}{3} τ. μ

ζ) Η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες στα σημεία (0, 4-a), (a,0).

\displaystyle  - \frac{1}{2}{(a - 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow (OKM) =  - \frac{1}{2}({a^2} - 4a) \le 2 με την ισότητα να ισχύει για a=2


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης