Απ' όλα...για προπόνηση

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8971
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Απ' όλα...για προπόνηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 06, 2017 7:36 pm

Δίνεται μία συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}, για την οποία ισχύει: {f^3}(x) + 2f(x) = x, για κάθε \displaystyle x \in \mathbb{R}

Α. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα, και να βρείτε τα σημεία καμπής.

Β. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο καμπής.

Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την f^-^1.

Δ. Αν g(x) = \dfrac{{{f^{ - 1}}(x)}}{{{x^2}}}, να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης και το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από την C_g, την ασύμπτωτη στο \displaystyle  + \infty και τις ευθείες με εξισώσεις x = 1,{\rm{ }}x = e



Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Οκτ 07, 2017 10:45 am

Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Οκτ 07, 2017 2:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Οκτ 07, 2017 10:45 am
Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!
Αν υπάρξει κάτι τέτοιο σε θέμα Β, βλέπω να θρηνούμε πολλά θύματα και όχι αδικαιολόγητα.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Οκτ 07, 2017 5:52 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Οκτ 07, 2017 2:05 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Οκτ 07, 2017 10:45 am
Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!
Αν υπάρξει κάτι τέτοιο σε θέμα Β, βλέπω να θρηνούμε πολλά θύματα και όχι αδικαιολόγητα.

Φιλικά.
Αν δεν μου διαφεύγει κάτι ειναι μια φυσιολογική άσκηση που εξετάζει μέγαλο φάσμα βασικών γνώσεων.. Σε ποιό κομμάτι της βρίσκεται την δυσκολία ώστε να θρηνούμε θύματα??


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 07, 2017 8:40 pm

Η συζήτηση μού κίνησε την περιέργεια.

Αν δεν μού διαφεύγει κάτι, βλέπω ένα όμορφο σωστά δομημένο θέμα που ελέγχει καθαρές γνώσεις, δίχως περιττά κρυφά κολπάκια.

Ίσως ο Μάριος να αναφέρεται στο ότι το ερώτημα Δ απαιτεί την αντίστροφη, η οποία δεν "δίνεται" από τον κατασκευαστή του θέματος.
Νομίζω ότι είναι (νεο)ελληνική πατέντα το να "προσφέρουμε" την απάντηση κάθε ερωτήματος στο αμέσως επόμενο ερώτημα. Αυτό έχει ένα καλό (ας το πούμε...) το ότι ανεξαρτητοποιεί κάθε ερώτημα από το προηγούμενο, αλλά κι ένα κακό, το ότι αλλοιώνεται το διερευνητικό ύφος των θεμάτων, τα οποία μετατρέπονται σε ρουτίνα κατά την οποία οι λύτες πρέπει να καταλήξουν στο προκαθορισμένο αποτέλεσμα του κατασκευαστή. Αν θέλαμε τα ερωτήματα να μην εξαρτώνται, ας δίναμε πιο πολλά και πιο μικρά ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ θέματα διαβαθμισμένης δυσκολίας. Γιατί πρέπει σώνει και καλά να χωρέσουμε τα πάντα σε τρία θέματα;



Α. Παραγωγίζοντας τη σχέση  \displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x\;\;\;\left( 1 \right) έχουμε για κάθε  \displaystyle x \in R
 \displaystyle 3{f^2}(x) \cdot f'\left( x \right) + 2f'(x) = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 2}} (2).

Παραγωγίζοντας τη σχέση (2) έχουμε, επίσης για κάθε  \displaystyle x \in R

 \displaystyle f''(x) = {\left( {\frac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 2}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 6f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{{{\left( {3{f^2}\left( x \right) + 2} \right)}^2}}} (3).

Από τη σχέση (2) έχουμε ότι  \displaystyle f'\left( x \right) > 0 για κάθε  \displaystyle x \in R .

Επίσης από τη σχέση (1) έχουμε  \displaystyle f\left( x \right) = \frac{x}{{{f^2}(x) + 2}} , οπότε τα f(x) και x είναι ομόσημα, άρα η εξίσωση f(x) =0 έχει μοναδική ρίζα x = 0.

Οπότε από την (3) έχουμε f(x) κυρτή για  \displaystyle x \in \left( { - \infty ,\;0} \right] και κοίλη για  \displaystyle x \in \left[ {0,\; + \infty } \right) κι έχει σημείο καμπής το  x=0.

Β. Είναι f(0)=0 και  \displaystyle f'\left( 0 \right) = \frac{1}{2} , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της  \displaystyle {C_f} είναι  \displaystyle y = \frac{x}{2} .

Γ. Αφού  \displaystyle f'\left( x \right) > 0 για κάθε  \displaystyle x \in R , η f(x) είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέψιμη.

Έστω  \displaystyle y = f\left( x \right) οπότε  \displaystyle {y^3} + 2y = x για κάθε  \displaystyle x \in R . Η αντίστροφη συνάρτηση της f(x) είναι η  \displaystyle {f^{ - 1}}\left( x \right) = {x^3} + 2x,\;\;x \in R .

Δ. Είναι  \displaystyle g(x) = \frac{{{f^{ - 1}}(x)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^2}}} = x + \frac{2}{x},\;\;x \in R - \{ 0\} .

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) =  - \infty ,\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) =  + \infty , άρα η γραφική παράσταση της g(x) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=0.

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = 1,\;\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {g\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{x} = 0,

άρα η γραφική παράσταση της g(x) έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία y=x.

Ομοίως η γραφική παράσταση της g(x) έχει πλάγια ασύμπτωτη στο  \displaystyle  - \infty την ευθεία y=x.

Είναι  \displaystyle E = \int_1^e {\left| {g\left( x \right) - x} \right|dx}  = \int_1^e {\frac{2}{x}dx = 2\left[ {\ln x} \right]_1^e =2 \ln e -2\ln 1 = 2.}

edit: Συμπληρώνω παρακάτω το ερώτημα (Γ) κατόπιν των παρατηρήσεων του Λάμπρου και του Γιώργη.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Οκτ 08, 2017 9:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Οκτ 07, 2017 9:23 pm

Κύριε Ρίζο συμφωνώ απόλυτα μαζί σας σε όλα. Ακόμα όμως και στο θέμα της αντίστροφης αν ένας μαθητής δεν μπορεί να βρεί την αντίστροφη σε μια σχέση που είναι λυμένη ως προς χ τότε προφανώς δεν θα μπορεί να λύσει ούτε και την θεωρία!!!


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 916
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Οκτ 07, 2017 9:38 pm

Νομίζω θα έπρεπε να γίνει με μεγαλύτερη σαφήνεια η εύρεση της αντίστροφης. Απαιτείται το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το σύνολο τιμών της f. Δεν είναι άγνωστο το "πώς" απλώς κάτι τέτοιο δεν θα ήθελα να το δω σε Β θέμα Πανελλαδικών. Εκτός αν χάνω κάτι..


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 08, 2017 1:15 am

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Σάβ Οκτ 07, 2017 9:38 pm
Νομίζω θα έπρεπε να γίνει με μεγαλύτερη σαφήνεια η εύρεση της αντίστροφης. Απαιτείται το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το σύνολο τιμών της f. Δεν είναι άγνωστο το "πώς" απλώς κάτι τέτοιο δεν θα ήθελα να το δω σε Β θέμα Πανελλαδικών. Εκτός αν χάνω κάτι..
Ο Λάμπρος έχει δίκιο φυσικά . Πιστεύω ότι ο Γιώργος ξεχάστηκε , φορτισμένος από τα σχόλια που προηγήθηκαν .
Έχουν γραφτεί πολλά και πολλές φορές για το θέμα αυτό .
Δείγματα εδώ και εδώ


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 08, 2017 9:53 am

Καλημέρα σε όλους και σάς ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και τις ενδιαφέρουσες παραπομπές.

Πράγματι, παρέλειψα τη μελέτη του Πεδίου Τιμών της συνάρτησης f(x), γιατί μού φάνηκε προφανής η απόδειξη ότι είναι το R. Η αναφορά ότι είναι παραγωγίσιμη διαφοροποιεί κάπως το θέμα από το παρόμοιο της παραπομπής.

Συμπληρώνω την απάντησή μου με μια διαφορετική προσέγγιση στον υπολογισμό του Π.Τ., σε σχέση με την απόδειξη που είναι ΕΔΩ.

Γ. Θα αποδείξουμε ότι το Πεδίο Τιμών της f(x) είναι το R.

Έστω ότι υπάρχει  \displaystyle k \in R για το οποίο είναι  \displaystyle f\left( x \right) \ne k για κάθε  \displaystyle x \in R .

Τότε  \displaystyle {f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) \ne {k^3} + 2k ,(*) άτοπο, αφού για κάθε  \displaystyle x \in R είναι \displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x . Άρα το Πεδίο Τιμών της f(x) είναι το R.

(*) Για κάθε  \displaystyle a,b \in R ισχύει  \displaystyle a \ne b \Rightarrow {a^3} + 2a \ne {b^3} + 2b .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Είναι  \displaystyle a \ne b . Έστω  \displaystyle {a^3} + 2a = {b^3} + 2b (1).

(1):  \displaystyle {a^3} - {b^3} + 2\left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2} \right) = 0 \Rightarrow a = b , άτοπο.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Οκτ 08, 2017 10:34 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2017 9:53 am
Καλημέρα σε όλους και σάς ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και τις ενδιαφέρουσες παραπομπές.

Πράγματι, παρέλειψα τη μελέτη του Πεδίου Τιμών της συνάρτησης f(x), γιατί μού φάνηκε προφανής η απόδειξη ότι είναι το R. Η αναφορά ότι είναι παραγωγίσιμη διαφοροποιεί κάπως το θέμα από το παρόμοιο της παραπομπής.

Συμπληρώνω την απάντησή μου με μια διαφορετική προσέγγιση στον υπολογισμό του Π.Τ., σε σχέση με την απόδειξη που είναι ΕΔΩ.

Γ. Θα αποδείξουμε ότι το Πεδίο Τιμών της f(x) είναι το R.

Έστω ότι υπάρχει  \displaystyle k \in R για το οποίο είναι  \displaystyle f\left( x \right) \ne k για κάθε  \displaystyle x \in R .

Τότε  \displaystyle {f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) \ne {k^3} + 2k ,(*) άτοπο, αφού για κάθε  \displaystyle x \in R είναι \displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x . Άρα το Πεδίο Τιμών της f(x) είναι το R.

(*) Για κάθε  \displaystyle a,b \in R ισχύει  \displaystyle a \ne b \Rightarrow {a^3} + 2a \ne {b^3} + 2b .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Είναι  \displaystyle a \ne b . Έστω  \displaystyle {a^3} + 2a = {b^3} + 2b (1).

(1):  \displaystyle {a^3} - {b^3} + 2\left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2} \right) = 0 \Rightarrow a = b , άτοπο.
Κύριε Ρίζο καλημέρα. Η παραπάνω λύση σας είναι υπέροχη, αλλά νομίζω ότι δεν θα την έβγαζε ένας μέτριος μαθητής, μιας και μιλάμε για θέμα Β. Οπότε θα αντιπροτείνω την παρακάτω σκέψη-λύση.
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο και μέτα από την αρχική σχέση φτάνω στο ζητούμενο παίρνοντας περιπτώσεις για το κάθε όριο


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 08, 2017 11:04 am

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις μπορεί να προηγηθεί το Γ του Α.

Είναι φανερό ότι f([0,\infty ))=[0,\infty ),f((-\infty ,0])=(-\infty ,0]

και αν h(x)=f^{-1}(x)=x^{3}+2x

τότε h([0,\infty ))=[0,\infty ),h((-\infty ,0])=(-\infty ,0].

Επειδή h(f(x))=x,x\in \mathbb{R}

παραγωγίζοντας δύο φορές παίρνουμε

h''(f(x))(f'(x))^{2}+h'(f(x))f''(x)=0

Ετσι από την κυρτότητα της h βγάζουμε συμπεράσματα για την κυρτότητα της f




Μια ακόμα παρατήρηση.

Ετσι όπως έχει δοθεί η συναρτησιακή μπορούμε να βρούμε την f.

Αν όμως δινόταν f^{5}(x)+2f(x)=x

τότε δεν αλλάζουν πολλά ,αλλά δεν μπορούμε να δώσουμε τύπο για την f.


Για την αρχική ο τύπος είναι
f(x)=\sqrt[3]{-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{8}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{8}{27}}}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 08, 2017 11:28 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2017 10:34 am

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο .......
\displaystyle f(x) = x\sin x,x \in R


Kαλαθάκης Γιώργης
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Οκτ 08, 2017 7:45 pm

:first:
exdx έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2017 11:28 am
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2017 10:34 am

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο .......
\displaystyle f(x) = x\sin x,x \in R
Αυτό μου διέφυγε! :(


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 916
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Κυρ Οκτ 08, 2017 7:53 pm

Φαντάζομαι, αυτό που θέλει να τονίσει ο κύριος Καλαθάκης είναι ότι η δικαιολόγηση απαιτεί αναφορά στη μονοτονία της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα γι' αυτό το σύνολο τιμών της είναι το (lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) ,lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)) .
Κατά τα άλλα, όλα μια χαρά.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 242
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Οκτ 09, 2017 10:05 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Οκτ 07, 2017 9:23 pm
Κύριε Ρίζο συμφωνώ απόλυτα μαζί σας σε όλα. Ακόμα όμως και στο θέμα της αντίστροφης αν ένας μαθητής δεν μπορεί να βρεί την αντίστροφη σε μια σχέση που είναι λυμένη ως προς χ τότε προφανώς δεν θα μπορεί να λύσει ούτε και την θεωρία!!!

Μα αν δεν μπορεί να βρει την αντίστροφη σε μία τέτοια άσκηση έχει λόγο να προσέλθει στις εξετάσεις;


margk
Δημοσιεύσεις: 251
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Δευ Οκτ 09, 2017 11:49 am

Όλοι οι μαθητές έχουν λόγο προσέλευσης στις εξετάσεις και όχι μόνο αυτοί που μπορούν να γράψουν άριστα. Κάποιος με βαθμό κάτω της βάσης στα Μαθηματικά μπορεί να μπει σε κάποια σχολή που την επιλέγει για κάποιο δικό του λόγο. Ας μην αποθαρρύνουμε λοιπόν τους μαθητές λέγοντας τους ότι αν δεν μπορείς να λύσεις το τάδε θέμα καλύτερα να μην πας στις εξετάσεις.


MARGK
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Δευ Οκτ 09, 2017 10:22 pm

margk έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2017 11:49 am
Όλοι οι μαθητές έχουν λόγο προσέλευσης στις εξετάσεις και όχι μόνο αυτοί που μπορούν να γράψουν άριστα. Κάποιος με βαθμό κάτω της βάσης στα Μαθηματικά μπορεί να μπει σε κάποια σχολή που την επιλέγει για κάποιο δικό του λόγο. Ας μην αποθαρρύνουμε λοιπόν τους μαθητές λέγοντας τους ότι αν δεν μπορείς να λύσεις το τάδε θέμα καλύτερα να μην πας στις εξετάσεις.
Συμφωνώ ότι ο κάθε μαθητής έχει δικαίωμα να προσπαθήσει!!! Αλλωστε είναι παιδιά και δεν υπάρχει χειρώτερο πράγμα από το να κόβεις τα όνειρα τους και τις φιλοδοξίες τους!!!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης