Σελίδα 1 από 1
Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
από M.S.Vovos
Δίνεται η συνάρτηση
, για την οποία ισχύει:
α) Να εξετάσετε αν η
:
i) είναι συνεχής στο
.
ii) παραγωγίσιμη στο
.
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω
και
με
και
.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) Η
είναι κυρτή στο
.
ii)
*
Φιλικά,
Μάριος
*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
M.S.Vovos έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
ii) Υπάρχει μοναδικό
τέτοιο, ώστε:
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.
Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 9:53 pm
από M.S.Vovos
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm
M.S.Vovos έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
ii) Υπάρχει μοναδικό
τέτοιο, ώστε:
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.
Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.
Σωστό Σταύρο. Έπεται διόρθωση!
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
από KAKABASBASILEIOS
M.S.Vovos έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
Δίνεται η συνάρτηση
, για την οποία ισχύει:
α) Να εξετάσετε αν η
:
i) είναι συνεχής στο
.
ii) παραγωγίσιμη στο
.
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω
και
με
και
.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) Η
είναι κυρτή στο
.
ii)
*
Φιλικά,
Μάριος
*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!
...δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα που υπάρχουν...
α) i)Η συνάρτηση
είναι συνεχής στο
ως πράξεις μεταξύ συνεχών και εξετάζουμε στο
, βρίσκοντας το όριο
(αφού
) άρα είναι ασυνεχής στο
.
ii) Η συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο
ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με
β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση
έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα
.Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση
που είναι συνεχής ,
ισχύουν ότι
άρα
οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν
ώστε
. Τώρα η εξίσωση
και έστω ότι έχει τρεις ρίζες
τότε στα διαστήματα
για την συνάρτηση
επειδή
και
παραγωγίσιμη με
σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η
θα έχει δύο ρίζες
και επειδή η
είναι παραγωγίσιμη με
άρα
γνήσια φθίνουσα, το προηγούμενο είναι άτοπο άρα η
έχει ακριβώς δύο ρίζες
και
.
γ) (i) Είναι
και
άρα η
είναι κυρτή στο
.
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 10:08 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επειδή
για
αν την θεωρήσουμε στο
η γραφική της παράσταση είναι
συμμετρική ως προς την ευθεία
Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στην μελέτη της.
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 2:43 pm
από M.S.Vovos
KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
α) ii) Η συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο
ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με
Προσοχή, ζητάω αν η
είναι παραγωγίσιμη στο
.
Φιλικά,
Μάριος
Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 9:10 pm
από kfd
Στο
δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη.