Σελίδα 1 από 1

Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
από M.S.Vovos
Δίνεται η συνάρτηση f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi  \\\\  
2018, &x=\pi   
\end{matrix}\right.}
α) Να εξετάσετε αν η f:

i) είναι συνεχής στο (0,\pi ].
ii) παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right ) και B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).
ii) *

Φιλικά,
Μάριος


*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm


ii) Υπάρχει μοναδικό y\in (0,\pi) τέτοιο, ώστε:

\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 22, 2017 9:53 pm
από M.S.Vovos
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm


ii) Υπάρχει μοναδικό y\in (0,\pi) τέτοιο, ώστε:

\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.
Σωστό Σταύρο. Έπεται διόρθωση!

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
από KAKABASBASILEIOS
M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi  \\\\  
2018, &x=\pi   
\end{matrix}\right.}
α) Να εξετάσετε αν η f:

i) είναι συνεχής στο (0,\pi ].
ii) παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right ) και B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right ) με x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).
ii) *

Φιλικά,
Μάριος


*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!
...δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα που υπάρχουν...

α) i)Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ συνεχών και εξετάζουμε στο \pi , βρίσκοντας το όριο

\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sin x}=+\infty

(αφού \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=0,\,\,\sin x>0,\,\,x<\pi ) άρα είναι ασυνεχής στο \pi .

ii) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}

β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}=x\Leftrightarrow x\sin x-1=0

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (0,\pi ).Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=x\sin x-1,\,\,x\in [0,\,\pi ] που είναι συνεχής ,

ισχύουν ότι g(0)=-1<0,\,\,g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2},\,g(\pi )=-1<0 άρα g(0)g(\frac{\pi }{2})<0,\,\,g(\pi )g(\frac{\pi }{2})<0

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2})\,,\,{{x}_{2}}\in (\frac{\pi }{2},\,\pi ) ώστε

g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0. Τώρα η εξίσωση g(x)=0\Leftrightarrow x\sin x-1=0\Leftrightarrow \sin x-\frac{1}{x}=0,\,\,x\in (0,\,\pi )

και έστω ότι έχει τρεις ρίζες {{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}} τότε στα διαστήματα

[{{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}]για την συνάρτηση h(x)=\sin x-\frac{1}{x}επειδή h({{\rho }_{1}})=h({{\rho }_{2}})=h({{\rho }_{3}})=0

και h παραγωγίσιμη με {h}'(x)=\cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}} σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η {h}' θα έχει δύο ρίζες

{{\xi }_{1}}\in ({{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}),\,\,{{\xi }_{2}}\in ({{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}) και επειδή η {h}' είναι παραγωγίσιμη με

{h}''(x)=-\sin x-\frac{2}{{{x}^{3}}}<0 άρα {h}' γνήσια φθίνουσα, το προηγούμενο είναι άτοπο άρα η g(x)=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες x_{1},x_{2}\in (0,\pi ) και x_{1}<x_{2}.

γ) (i) Είναι {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x},\,\,\,x\in (0,\,\,\pi ) και

{f}''(x)={{\left( -\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime \prime }}=-\frac{-{{\sin }^{3}}x-\cos x\,2\sin x\,\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,\,x\in (0,\,\,\pi )

άρα η f είναι κυρτή στο (0,\pi ).

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 10:08 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επειδή f(x)=f(\pi -x) για x\in (0,\pi )

αν την θεωρήσουμε στο (0,\pi ) η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς την ευθεία x=\frac{\pi }{2}

Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στην μελέτη της.

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 2:43 pm
από M.S.Vovos
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
α) ii) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ) ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}
Προσοχή, ζητάω αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ].

Φιλικά,
Μάριος

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 24, 2017 9:10 pm
από kfd
Στο \pi δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη.