mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 11, 2017 8:35 pm**

2. Οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\displaystyle R$ και η $\displaystyle g$ είναι γνησίως αύξουσα .
Στον πίνακα δίνονται κάποιες τιμές των $\displaystyle f,g$ και των παραγώγων τους . Έστω η συνάρτηση $\displaystyle t(x)=f(g(x))-6$
α) Αποδείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle a\in (1,3)$ ώστε $\displaystyle t(a)=-5$
β) Αποδείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle b\in (1,3)$ ώστε $\displaystyle {t}'(b)=-5$
γ) Έστω $\displaystyle F$ μια αρχική της $\displaystyle f$ . Αν $\displaystyle h(x)=F(g(x))$ , βρείτε το $\displaystyle {h}'(3)$
δ) Υπολογίστε τα : i) $\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4}$ ii) $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}$
ε) Αν η $\displaystyle G$ είναι αρχική της $\displaystyle g$ με $\displaystyle G(1)=1$ , αποδείξτε ότι $\displaystyle \int_{1}^{4}{G(x)}dx\ge 12$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 12, 2017 1:52 am**

[quote=exdx post_id=289092 time=1505151356 user_id=100]
2. Οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\displaystyle R$ και η $\displaystyle g$ είναι γνησίως αύξουσα .
Στον πίνακα δίνονται κάποιες τιμές των $\displaystyle f,g$ και των παραγώγων τους . Έστω η συνάρτηση $\displaystyle t(x)=f(g(x))-6$
α) Αποδείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle a\in (1,3)$ ώστε $\displaystyle t(a)=-5$
β) Αποδείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle b\in (1,3)$ ώστε $\displaystyle {t}'(b)=-5$
γ) Έστω $\displaystyle F$ μια αρχική της $\displaystyle f$ . Αν $\displaystyle h(x)=F(g(x))$ , βρείτε το $\displaystyle {h}'(3)$
δ) Υπολογίστε τα : i) $\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4}$ ii) $\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}$
ε) Αν η $\displaystyle G$ είναι αρχική της $\displaystyle g$ με $\displaystyle G(1)=1$ , αποδείξτε ότι $\displaystyle \int_{1}^{4}{G(x)}dx\ge 12$
[/quote]

...για την νέα σχολική χρονιά...καλή δύναμη σε όλη την παρέα...

α) Η συνάρτηση $\displaystyle t(x)=f(g(x))-6$ στο [1,3]

είναι συνεχής με t(1)=f(g(1))-6=f(2)-6=9-6=3

και

και επειδή ισχύει t(1)<-5<t(3)

σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει

$\displaystyle a\in (1,3)$ ώστε $\displaystyle t(a)=-5$

β) Στο διάστημα [1,3] η $\displaystyle t(x)=f(g(x))-6$ είναι παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξης μεταξύ παραγωγίσιμων,

έτσι σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\displaystyle b\in (1,3)$ ώστε

${t}'(b)=\frac{t(3)-t(1)}{3-1}=\frac{f(g(3))-f(g(1))}{2}=\frac{f(4)-f(2)}{2}=\frac{-1-9}{2}=-5$

γ) Είναι {F}'(x)=f(x)

από υπόθεση και η $\displaystyle h(x)=F(g(x))$ παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων με

{h}'(x)={F}'(g(x)){g}'(x)=f(g(x){g}'(x)

οπότε

{h}'(3)=f(g(3){g}'(3)=f(4){g}'(3)=(-1)2=-2

δ) Είναι $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim (}}\,g(x)-4)=g(3)-4=0$ και $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim (}}\,t(x)+7)=t(3)+7=0$

επομένως έχουμε μορφή $\frac{0}{0}$ και τότε

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{t(x)+7}{g(x)-4}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{t(x)-t(3)}{x-3}}{\frac{g(x)-g(3)}{x-3}}=\frac{{t}'(3)}{{g}'(3)}=\frac{{f}'(g(3)){g}'(3)}{{g}'(3)}={f}'(4)=-1$

και ακόμη $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-g(x)}{g(x)-4}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{g(x)-4} \right)(f(x)-g(x))=+\infty$ επειδή $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{g(x)-4} \right)=+\infty$

αφού για $x>3\Rightarrow g(x)>g(3)=4$ (

είναι γνήσια αύξουσα ) και $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-g(x))=f(3)-g(3)=6$

ε) Η $\displaystyle G$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει {G}'(x)=g(x)

, σύμφωνα με την υπόθεση, και είναι γνήσια αύξουσα, άρα η

$\displaystyle G$ είναι κυρτή και λόγω της κυρτότητας της, τα σημεία της γραφικής της παράστασης, θα είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη

εκτός του σημείου επαφής της, Άρα και από την εφαπτομένη της στο σημείο , $(1,\,G(1))$ ή $(1,\,1)$ που έχει εξίσωση

$y-1={G}'(1)(x-1)\Leftrightarrow y-1=g(1)(x-1)\Leftrightarrow y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1$ δηλαδή θα ισχύει ότι

$G(x)\ge 2x-1,\,\,\,x\in R$ και ολοκληρώνοντας έχουμε

$\int\limits_{1}^{4}{G(x)dx}>\int\limits_{1}^{4}{(2x-1)dx}=\left[ {{x}^{2}}-x \right]_{1}^{4}=(16-4)-0=12$ που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

mathematica.gr

Με πίνακα τιμών (2)

Με πίνακα τιμών (2)

Re: Με πίνακα τιμών (2)