Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Σεπ 09, 2017 2:16 pm

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : [0,+\infty )\longrightarrow \mathbb{R}, παραγωγίσιμη στο (0,+\infty ) τέτοια ώστε:

\bullet \hspace{3mm} Για κάθε x>0 ισχύει \displaystyle{\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(x)}{y}\Big (f\left ( x+y \right )-f\left ( x-y \right )\Big )=1}.

\bullet \hspace{3mm} Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f'(x)f(x)=\frac{1}{2}}, για κάθε x>0.

β) Να προσδιορίσετε όλους τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης f.

Αν, επιπλέον, δίνεται ότι f(x)=\sqrt{x}, x\geqslant 0 τότε:

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (\varepsilon ) της γραφικής παράστασης της f, η οποία άγεται από το σημείο M(1,1).

δ) i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου \Omega , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτόμενή της (\varepsilon ) και τον άξονα x'x.

ii) Να προσδιορίσετε την ευθεία x=\alpha , \alpha \in \mathbb{R}, η οποία χωρίζει το χωρίο \Omega σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος


Επεξεργασία: Διόρθωση ερωτήματος.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Σάβ Σεπ 09, 2017 7:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Σεπ 09, 2017 5:47 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Σεπ 09, 2017 2:16 pm
Έστω η συνεχής συνάρτηση f : [0,+\infty )\longrightarrow \mathbb{R}, παραγωγίσιμη στο (0,+\infty ) τέτοια ώστε:

\bullet \hspace{3mm} Για κάθε x>0 ισχύει \displaystyle{\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(x)}{y}\Big (f\left ( x+y \right )-f\left ( x-y \right )\Big )=1}.

\bullet \hspace{3mm} Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f'(x)f(x)=\frac{1}{2}}, για κάθε x>0.

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=\sqrt{x}, x\geqslant 0.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (\varepsilon ) της γραφικής παράστασης της f, η οποία άγεται από το σημείο M(1,1).

δ) i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου \Omega , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτόμενή της (\varepsilon ) και τον άξονα x'x.

ii) Να προσδιορίσετε την ευθεία x=\alpha , \alpha \in \mathbb{R}, η οποία χωρίζει το χωρίο \Omega σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Φιλικά,
Μάριος

Γεια σου Μάριε,

(α) Από το δεδομένο έχουμε
\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{y\rightarrow 0} \frac{f(x+y) - f(x-y)}{y} &= \lim_{y\rightarrow 0}\left [ \frac{f(x+y) - f(x)}{y} - \frac{f(x-y)+f(x)}{y} \right ] \\  
 &= f'(x) + f'(x)\\   
 &= 2f'(x)  
\end{aligned}} Άρα πράγματι \displaystyle{f'(x) f(x) = \frac{1}{2}}.

Σχετικό θέμα με το ίδιο όριο έχουμε δει εδώ .

(β) Είναι
\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(x) f(x) = \frac{1}{2} &\Leftrightarrow 2 f'(x) f(x) = 1 \\  
 &\Leftrightarrow \left ( f^2(x) \right )' = \left ( x \right )'\\  
 &\Rightarrow f^2(x) = x + c \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\overset{f(0)=0}{=\! =\! =\! =\!\Rightarrow } f^2(x) = x 
\end{aligned}} Μπορούμε από δω να βγάλουμε με ασφάλεια ότι f(x)=\sqrt{x} ; Είναι κάτι που δε βλέπω; Πώς θα αποκλείσω τη πιθανότητα η f να μην είναι η -\sqrt{x} ;

(γ) Έστω (\varepsilon) η εξίσωση της εφαπτομένης. Εφόσον άγεται από το (1, 1) θα είναι της μορφής
\displaystyle{1-f(x_0) = f'(x_0) \left ( 1-x_0 \right ) \Leftrightarrow 1 - \sqrt{x_0} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} \left ( 1-x_0 \right )} και αρκεί να βρούμε το x_0. H εξίσωση παίρνει τη μορφή
\displaystyle{\begin{aligned} 
1-\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} &\overset{u=\sqrt{x}}{\Leftarrow \! =\! \Rightarrow} 1 - u = \frac{1}{2u} - \frac{u}{2}\\  
 &= u=1 
\end{aligned}} και κατά συνέπεια x=1 πράγμα εντελώς λογικό αφού το (1, 1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης. Συνεπώς η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η
\displaystyle{y-1 = \frac{1}{2} \left( x - 1 \right)} (δ)

(i) Είναι γνωστό ότι η \sqrt{x} είναι κοίλη ως συνάρτηση αφού για παράδειγμα έχει γνήσια φθίνουσα παράγωγο. Συνεπώς το γράφημα της εφαπτομένης είναι πάνω από το γράφημα της συνάρτησης. Άρα το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της f, του άξονα x'x και του γραφήματος της εφαπτομένης είναι ίσο με
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm E}\left ( \Omega  \right ) &= \bigintsss_{0}^{1} \left | f(x) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right |\, {\rm d}x \\  
 &=\bigintsss_{0}^{1} \left ( \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{x} \right ) \, {\rm d}x \\  
 &= \left [ \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{2x^{3/2}}{3} \right ]_0^1\\  
 &= \frac{1}{12} 
\end{aligned}} (ii) Έστω x=\alpha η ζητούμενη ευθεία. Τότε θα ισχύει:
\displaystyle{2 \int_{0}^{\alpha} \left ( \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{x} \right ) \, {\rm d}x = \frac{1}{12}} Δηλαδή
\displaystyle{2 \alpha \left ( 3 \alpha - 8 \sqrt{\alpha} + 6 \right ) =1 } και αρκεί να λύσουμε τη τελευταία εξίσωση η οποία λύνεται πώς ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Σεπ 09, 2017 6:11 pm

Για το πρόσημο ;
Για τις πράξεις , δίνω το σχήμα ....
Συνημμένα
Integral.png
Integral.png (6.03 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 09, 2017 6:23 pm

Αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις βρίσκω \displaystyle E(\Omega ) = \frac{1}{3} και \displaystyle a = \sqrt {\frac{2}{3}}  - 1


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Σεπ 09, 2017 7:05 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 09, 2017 6:23 pm
Αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις βρίσκω \displaystyle E(\Omega ) = \frac{1}{3} και \displaystyle a = \sqrt {\frac{2}{3}}  - 1
Σωστά κ. Γιώργο. Τα αποτελέσματα είναι αυτά που βρήκατε.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης