Με πίνακα τιμών

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με πίνακα τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 07, 2017 9:34 am

1. Δίνεται ο πίνακας κάποιων τιμών μιας συνάρτησης παραγωγίσιμης στο \displaystyle{[0,4]}
Untitled.png
Untitled.png (2.64 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές
Ο πίνακας αυτός εγγυάται ότι : (Σωστό ή Λάθος ; )
α. Η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{[2,5]}
β. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[0,2]}
γ. Ισχύει \displaystyle{{f}'(x)<0} για κάθε \displaystyle{x\in (2,4)}
δ. Υπάρχει \displaystyle{a\in (2,4)} με \displaystyle{f(a)=3}
ε. Ισχύει \displaystyle{{f}'(2)=0}
ζ. Υπάρχει \displaystyle{b\in (0,4)} με \displaystyle{{f}'(b)=0}
η. Υπάρχει \displaystyle{c\in (3,4)} με \displaystyle{{f}'(c)=-2}

Μια σύντομη αιτιολόγηση είναι επιθυμητή


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με πίνακα τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Σεπ 13, 2017 2:09 pm

exdx έγραψε:
Πέμ Σεπ 07, 2017 9:34 am
1. Δίνεται ο πίνακας κάποιων τιμών μιας συνάρτησης παραγωγίσιμης στο \displaystyle{[0,4]}Untitled.png
Ο πίνακας αυτός εγγυάται ότι : (Σωστό ή Λάθος ; )
α. Η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{[2,5]}
β. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[0,2]}
γ. Ισχύει \displaystyle{{f}'(x)<0} για κάθε \displaystyle{x\in (2,4)}
δ. Υπάρχει \displaystyle{a\in (2,4)} με \displaystyle{f(a)=3}
ε. Ισχύει \displaystyle{{f}'(2)=0}
ζ. Υπάρχει \displaystyle{b\in (0,4)} με \displaystyle{{f}'(b)=0}
η. Υπάρχει \displaystyle{c\in (3,4)} με \displaystyle{{f}'(c)=-2}

Μια σύντομη αιτιολόγηση είναι επιθυμητή
...Καλημέρα :logo: μια απάντηση στο θέμα του Γιώργη...

α. Λάθος , γιατί σύμφωνα με το Θ.Μ.Ε.Τ. θα υπάρχουν μ, Μ ώστε να ισχύει

\mu \le f(x)\le M,\,\,x\in [2,\,4] με \mu \le 2,\,M\ge 5 σύμφωνα με το πίνακα τιμών της f

β. Λάθος, γιατί αν την ελάχιστη τιμή \mu και είναι \mu <2 η f την παίρνει σε σημείο {{x}_{0}}\in (0,1)\cup (1,2) θα ισχύει

{{x}_{0}}>0\overset{f\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{0}})>f(2)\Rightarrow \mu >2 που είναι άτοπο.

γ. Λάθος γιατί αν την μέγιστη τιμή M η f την παίρνει σε σημείο {{x}_{0}}\in (2,3)\cup (3,4) τότε από Θ.Μ.Τ. και είναι

M>5θα υπάρχει {{x}_{1}}\in (2,4) ώστε {f}'({{x}_{1}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(2)}{{{x}_{0}}-2}=\frac{M-5}{{{x}_{0}}-2}>0

δ. Σωστό λόγω του Θ.Ε.Τ. αφού ισχύει ότι 2=f(4)<3<f(2)=5

ε. Αν το είναι μέγιστη τιμή της f σωστό, και αν πάλι δεν είναι μέγιστη τιμή της μπορεί \displaystyle{{f}'(2)=0} και επίσης μπορεί και

{f}'(2)\ne 0… άρα βάσει των πληροφοριών που έχουμε δεν μπορεί να δοθεί μονοσήμαντη απάντηση

ζ. Σωστό γιατί επειδή 2=f(0)=f(4) και 5=f(2)>2=f(0)=f(4)η f την μέγιστη τιμή την παίρνει σε σημείο

\displaystyle{b\in (0,4)}και από Fermat είναι \displaystyle{{f}'(b)=0}

η. Σωστό για από Θ.Μ.Τ. στο [3,4] υπάρχει \displaystyle{c\in (3,4)} με {f}'(c)=\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=\frac{2-4}{1}=-2

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με πίνακα τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Σεπ 13, 2017 9:29 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Σεπ 13, 2017 2:09 pm
exdx έγραψε:
Πέμ Σεπ 07, 2017 9:34 am
1. Δίνεται ο πίνακας κάποιων τιμών μιας συνάρτησης παραγωγίσιμης στο \displaystyle{[0,4]}Untitled.png
Ο πίνακας αυτός εγγυάται ότι : (Σωστό ή Λάθος ; )
α. Η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{[2,5]}
β. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[0,2]}
γ. Ισχύει \displaystyle{{f}'(x)<0} για κάθε \displaystyle{x\in (2,4)}
δ. Υπάρχει \displaystyle{a\in (2,4)} με \displaystyle{f(a)=3}
ε. Ισχύει \displaystyle{{f}'(2)=0}
ζ. Υπάρχει \displaystyle{b\in (0,4)} με \displaystyle{{f}'(b)=0}
η. Υπάρχει \displaystyle{c\in (3,4)} με \displaystyle{{f}'(c)=-2}

Μια σύντομη αιτιολόγηση είναι επιθυμητή
...Καλημέρα :logo: μια απάντηση στο θέμα του Γιώργη...

α. Λάθος , γιατί σύμφωνα με το Θ.Μ.Ε.Τ. θα υπάρχουν μ, Μ ώστε να ισχύει

\mu \le f(x)\le M,\,\,x\in [2,\,4] με \mu \le 2,\,M\ge 5 σύμφωνα με το πίνακα τιμών της f

β. Λάθος, γιατί αν την ελάχιστη τιμή \mu και είναι \mu <2 η f την παίρνει σε σημείο {{x}_{0}}\in (0,1)\cup (1,2) θα ισχύει

{{x}_{0}}>0\overset{f\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{0}})>f(2)\Rightarrow \mu >2 που είναι άτοπο.

γ. Λάθος γιατί αν την μέγιστη τιμή M η f την παίρνει σε σημείο {{x}_{0}}\in (2,3)\cup (3,4) τότε από Θ.Μ.Τ. και είναι

M>5θα υπάρχει {{x}_{1}}\in (2,4) ώστε {f}'({{x}_{1}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(2)}{{{x}_{0}}-2}=\frac{M-5}{{{x}_{0}}-2}>0

δ. Σωστό λόγω του Θ.Ε.Τ. αφού ισχύει ότι 2=f(4)<3<f(2)=5

ε. Αν το είναι μέγιστη τιμή της f σωστό, και αν πάλι δεν είναι μέγιστη τιμή της μπορεί \displaystyle{{f}'(2)=0} και επίσης μπορεί και

{f}'(2)\ne 0… άρα βάσει των πληροφοριών που έχουμε δεν μπορεί να δοθεί μονοσήμαντη απάντηση

ζ. Σωστό γιατί επειδή 2=f(0)=f(4) και 5=f(2)>2=f(0)=f(4)η f την μέγιστη τιμή την παίρνει σε σημείο

\displaystyle{b\in (0,4)}και από Fermat είναι \displaystyle{{f}'(b)=0}

η. Σωστό για από Θ.Μ.Τ. στο [3,4] υπάρχει \displaystyle{c\in (3,4)} με {f}'(c)=\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=\frac{2-4}{1}=-2

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Καλησπέρα Βασίλη, Γιώργη .
Εύχομαι σε σας και σε όλο το :logo: καλή ακαδημαϊκή χρονιά!
Μια προσπάθεια και από μένα στην ωραία και πολύ διδακτική άσκηση του Γιώργη.
Ξεκινάμε με μια γραφική παράσταση ...
Με πίνακα τιμών.png
Με πίνακα τιμών.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές
α) Λάθος , όπως φαίνεται και από την παραπάνω γραφική παράσταση .
β) Λάθος , όπως φαίνεται και από την παραπάνω γραφική παράσταση .
γ) Λάθος , διότι αν υποθέσουμε ότι f'(x)<0 \forall x\in(2,4) \Rightarrow f: γνησίως φθίνουσα στο [2,4],
ΑΤΟΠΟ όπως φαίνεται από την παραπάνω γραφική παράσταση .
δ) Όπως ο Βασίλης, παραπάνω.
ε) Λάθος , όπως φαίνεται και από την παραπάνω γραφική παράσταση .
ζ) Σωστό.
Από τον πίνακα τιμών ισχύει f(0)=f(4)=2.
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle για την f στο [0,4].
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα b\in(0,4) τέτοιο ώστε f'(b)=0 .
η) Σωστό.
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)+2x, παραγωγίσιμη με g'(x)=f'(x)+2 .
Είναι g(3)=f(3)+6=4+6=10 και g(4)=f(4)+8=2+8=10.
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle για την g στο [3,4].
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα c\in(3,4) τέτοιο ώστε g'(c)=0 \Leftrightarrow f'(c)=-2 .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με πίνακα τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 13, 2017 9:45 pm

Στα α,β,γ που είναι λάθος πρέπει να δοθεί αντιπαράδειγμα.
Ο τρόπος του Σταμάτη να δώσει μια γραφική παράσταση τουλάχιστον από εμένα
είναι αποδεκτός και ο καλύτερος διδακτικά.
Να σημειώσω ότι ερωτήσεις σαν τις α,β,γ είναι πάντα λάθος αν πρέπει να
τις συμπεράνουμε από οποιοδήποτε πίνακα τιμών.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με πίνακα τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Σεπ 13, 2017 11:45 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 13, 2017 9:45 pm
Στα α,β,γ που είναι λάθος πρέπει να δοθεί αντιπαράδειγμα.
Ο τρόπος του Σταμάτη να δώσει μια γραφική παράσταση τουλάχιστον από εμένα
είναι αποδεκτός και ο καλύτερος διδακτικά.
Να σημειώσω ότι ερωτήσεις σαν τις α,β,γ είναι πάντα λάθος αν πρέπει να
τις συμπεράνουμε από οποιοδήποτε πίνακα τιμών.
Καλησπέρα Σταύρο και ευχαριστώ.
Να αναφέρω για την ιστορία, ότι ο τύπος της συνάρτησης με την παραπάνω γραφική παράσταση είναι :

f(x)=\left\{\begin{matrix} 6x^2-5x+2 & 0<x\leq 1\\ -\dfrac{5}{4}x^3+\dfrac{43}{4}x-\dfrac{26}{4} &1<x\leq 2 \\ \dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{27}{2}x +22& 2<x\leq 3\\ -\dfrac{7}{2}x^2+\dfrac{45}{2}x -32& 3<x\leq 4 \end{matrix}\right.

Τύπος ... τέρας! Δεν ξέρω αν αξίζει τον κόπο να εξετάσει κάποιος, αν είναι σωστός.
Χρειάστηκε για να μου δώσει την γραφική παράσταση το Geogebra.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με πίνακα τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 14, 2017 7:06 pm

Το ε είναι λάθος ασυζητητί .
Ο προσεκτικός Γιώργης έχει γράψει.''Ο πίνακας τιμών εγγυάται"
Δηλαδή κάθε συνάρτηση που έχει αυτόν τον πίνακα τιμών έχει......
Από την γραφική παράσταση του Σταμάτη θέλουμε μόνο κάτι τιμές .

Αν έχουμε μια συνάρτηση με

f(0)=2,f(\frac{1}{2})=1,f(1)=3,f(\frac{3}{2})=6,f(2)=5,f(\frac{5}{2})=3,f(3)=4,f(\frac{7}{2})=5,f(4)=2

μας κάνει την δουλειά.
Είναι εύκολο να φτιάξουμε ένα πολυώνυμο το πολύ ογδόου βαθμού που έχει τις πιο πάνω τιμές

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Να σημειώσω ότι υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι που κατασκευάζουν το πολυώνυμο.
Ο κλάδος που ασχολείται με αυτά είναι η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες