Συμπεράσματα απο γράφημα

Christos.N · #1

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ${{C}_{f}}$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης

.

: σχήμα.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 1927 φορές

1. Να βρεθούν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης

. Στη συνέχεια να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

και να χαρακτηριστεί το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά.
2. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα σημεία ${{x}_{1}}=9$ και ${{x}_{2}}=13$ . Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
3. Να βρεθούν οι τιμές του αριθμού $k\in R$ , ώστε η εξίσωση $f\left( x \right)=k$ να έχει τρείς ακριβώς λύσεις. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
4. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ , με $g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)}$ . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να αποδειχθεί ότι έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία $\displaystyle{x=5}$ .

#2

Christos.N έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ${{C}_{f}}$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης .

σχήμα.png

1. Να βρεθούν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης . Στη συνέχεια να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης και να χαρακτηριστεί το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά.
2. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα σημεία ${{x}_{1}}=9$ και ${{x}_{2}}=13$ . Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
3. Να βρεθούν οι τιμές του αριθμού $k\in R$ , ώστε η εξίσωση $f\left( x \right)=k$ να έχει τρείς ακριβώς λύσεις. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
4. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ , με $g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)}$ . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να αποδειχθεί ότι έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία $\displaystyle{x=5}$ .

ΛΥΣΗ

1) Το πεδίο ορισμού είναι όλες οι τετμημένες των σημείων της καμπύλης, έτσι σύμφωνα με το σχήμα είναι το

$A=(-1,\,\,13)\cup (13,\,14]$ και το σύνολο τιμών όλες οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης που είναι $f(A)=[-5,\,\,6)$

Στην συνέχεια η

είναι γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα ${{A}_{1}}=(-1,\,\,0],\,\,{{A}_{3}}=[3,\,\,9],\,\,{{A}_{5}}=(13,\,\,14]$

και γνήσια αύξουσα στα ${{A}_{2}}=[0,\,\,3],\,\,{{A}_{4}}=[9,\,\,13]$

2) Επειδή το σημείο $(9,\,-5)$ είναι το χαμηλότερο σημείο ης καμπύλης στο ${{x}_{1}}=9$ παρουσιάζει ολικά ελάχιστο το f(9)=-5

Στο σημείο ${{x}_{2}}=13$ η

δεν ορίζεται οπότε δεν παρουσιάζει μέγιστο αφού το

δεν είναι τιμή της συνάρτησης

και απλά ισχύει $f(x)<6,\,\,\,x\in A$

3) Αν 2<k<4

η ευθεία

τέμνει την καμπύλη σε τρία ακριβώς σημεία

${{x}_{1}}\in (0,\,\,3),\,\,{{x}_{2}}\in (3,\,\,5),\,\,{{x}_{3}}\in (11,\,\,13)$ άρα και η εξίσωση $f\left( x \right)=k$ να έχει τρείς ακριβώς λύσεις.

Οπως επίσης και για k=1

και

οι ευθείες y=1

και

τέμνουν την καμπύλη σε τρία ακριβώς σημεία

και τότε η εξίσωση $f\left( x \right)=k$ να έχει τρείς ακριβώς λύσεις

4) Για να ορίζεται η $g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)}$ πρέπει και αρκεί να υπάρχουν

$x\in A=(-1,\,\,13)\cup (13,\,14]$ ώστε ${{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)\ne 0$ ή $f(x)(f\left( x \right)+5)\ne 0$

και σύμφωνα μ ε το σχήμα για να ισχύει αυτό $x\ne 5,\,\,11$ και $x\ne 9$ αφού f(5)=f(11)=0

και

επομένως η

ορίζεται για $x\in A-\left\{ 3,5,\left. 9 \right\} \right.$

Τώρα επειδή $\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ και $f\left( x \right)>0$ κοντά στο x<5

και

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,(f(x)+5)=5$ και $\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,(x-2)=3$ το

$\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{f\left( x \right)}\frac{x-2}{f\left( x \right)+5} \right)=+\infty$ άρα η x=5

είναι ασύμπτωτη της ${{C}_{g}}$

...μέτα από ΠΜ του Χρήστου συμπλήρωσα την αβλεψία μου...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #3

Ακούραστε Βασίλη σε ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες με αυτό το θέμα.

Συμπεράσματα απο γράφημα

Συμπεράσματα απο γράφημα

Re: Συμπεράσματα απο γράφημα

Re: Συμπεράσματα απο γράφημα

Μέλη σε σύνδεση