Συμπεράσματα απο γράφημα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Συμπεράσματα απο γράφημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 13, 2017 7:17 pm

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση {{C}_{f}} μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f .
σχήμα.png
σχήμα.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 1407 φορές

1. Να βρεθούν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Στη συνέχεια να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης fκαι να χαρακτηριστεί το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά.
2. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα σημεία {{x}_{1}}=9 και {{x}_{2}}=13. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
3. Να βρεθούν οι τιμές του αριθμού k\in R, ώστε η εξίσωση f\left( x \right)=k να έχει τρείς ακριβώς λύσεις. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g}, με g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)}. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να αποδειχθεί ότι έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία \displaystyle{x=5}.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συμπεράσματα απο γράφημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Μάιος 15, 2017 1:48 am

Christos.N έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση {{C}_{f}} μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f .

σχήμα.png

1. Να βρεθούν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Στη συνέχεια να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης fκαι να χαρακτηριστεί το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά.
2. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα σημεία {{x}_{1}}=9 και {{x}_{2}}=13. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
3. Να βρεθούν οι τιμές του αριθμού k\in R, ώστε η εξίσωση f\left( x \right)=k να έχει τρείς ακριβώς λύσεις. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g}, με g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)}. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να αποδειχθεί ότι έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία \displaystyle{x=5}.
ΛΥΣΗ

1) Το πεδίο ορισμού είναι όλες οι τετμημένες των σημείων της καμπύλης, έτσι σύμφωνα με το σχήμα είναι το

A=(-1,\,\,13)\cup (13,\,14] και το σύνολο τιμών όλες οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης που είναι f(A)=[-5,\,\,6)

Στην συνέχεια η f είναι γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα {{A}_{1}}=(-1,\,\,0],\,\,{{A}_{3}}=[3,\,\,9],\,\,{{A}_{5}}=(13,\,\,14]

και γνήσια αύξουσα στα {{A}_{2}}=[0,\,\,3],\,\,{{A}_{4}}=[9,\,\,13]

2) Επειδή το σημείο (9,\,-5) είναι το χαμηλότερο σημείο ης καμπύλης στο{{x}_{1}}=9 παρουσιάζει ολικά ελάχιστο τοf(9)=-5

Στο σημείο {{x}_{2}}=13 η f δεν ορίζεται οπότε δεν παρουσιάζει μέγιστο αφού το 6 δεν είναι τιμή της συνάρτησης f

και απλά ισχύει f(x)<6,\,\,\,x\in A

3) Αν 2<k<4 η ευθεία y=k τέμνει την καμπύλη σε τρία ακριβώς σημεία

{{x}_{1}}\in (0,\,\,3),\,\,{{x}_{2}}\in (3,\,\,5),\,\,{{x}_{3}}\in (11,\,\,13) άρα και η εξίσωση f\left( x \right)=k να έχει τρείς ακριβώς λύσεις.

Οπως επίσης και για k=1 και k=2 οι ευθείες y=1 και y=2 τέμνουν την καμπύλη σε τρία ακριβώς σημεία

και τότε η εξίσωση f\left( x \right)=k να έχει τρείς ακριβώς λύσεις

4) Για να ορίζεται η g(x)=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)} πρέπει και αρκεί να υπάρχουν

x\in A=(-1,\,\,13)\cup (13,\,14]ώστε {{f}^{2}}\left( x \right)+5f\left( x \right)\ne 0 ή f(x)(f\left( x \right)+5)\ne 0

και σύμφωνα μ ε το σχήμα για να ισχύει αυτό x\ne 5,\,\,11 και x\ne 9 αφού f(5)=f(11)=0 και f(9)=-5

επομένως η gορίζεται για x\in A-\left\{ 3,5,\left. 9 \right\} \right.

Τώρα επειδή \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0 και f\left( x \right)>0 κοντά στο x<5 και

\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,(f(x)+5)=5 και \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,(x-2)=3 το

\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{f\left( x \right)}\frac{x-2}{f\left( x \right)+5} \right)=+\infty άρα η x=5 είναι ασύμπτωτη της {{C}_{g}}

...μέτα από ΠΜ του Χρήστου συμπλήρωσα την αβλεψία μου...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συμπεράσματα απο γράφημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μάιος 15, 2017 4:46 pm

Ακούραστε Βασίλη σε ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες με αυτό το θέμα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης