Χαλαρό

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Χαλαρό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Απρ 25, 2017 10:59 am

Αν ισχύει f(x)-y^2 \leq f(x+y) \leq f(x)+y^2,x,y \in R τότε:

1) Ν.δ.ο. η f σταθερή στο R.

2) Αν το εμβαδό που περικλείεται από C_f,xx', x=1,x=3 είναι 8 τ.μ. να βρεθεί η f.

3) Αν g''(x)=f(x),g''(x)>0 , η εφαπτομένη της C_g στο σημείο (0,g(0)) σχηματίζει με τον xx' γωνία

\frac{\pi}{4} και η C_g διέρχεται από το (1,7) . Να βρείτε τη g.

4) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{a}^{1}\frac{|f(x)|}{\left [ g(x) \right ]^{2017}}, a=\lim_{x \to +\infty}\left (\sqrt{x^2+2018}-x  \right )}.
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Σάβ Απρ 29, 2017 6:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Χαλαρό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Απρ 29, 2017 12:36 pm

erxmer έγραψε:Αν ισχύει f(x)-y^2 \leq f(x+y) \leq f(x)+y^2,x,y \in R τότε:

1) Ν.δ.ο. η f σταθερή στο R.

2) Αν το εμβαδό που περικλείεται από C_f,xx', x=1,x=3 είναι 8 τ.μ. να βρεθεί η f.

3) Αν g''(x)=f(x),g''(x)>0 , η εφαπτομένη της C_g στο σημείο (0,g(0)) σχηματίζει με τον xx' γωνία

\frac{\pi}{4} και η C_g διέρχεται από το (1,7) . Να βρείτε τη g.

4) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{0}^{a}\frac{|f(x)|}{\left [ g(x) \right ]^{2017}}, a=\lim_{x \to +\infty}\left (\sqrt{x^2+2018}-x  \right )}.
Καλημέρα. Μια προσπάθεια ...
1) Θέτοντας στην δοθείσα σχέση όπου y = h , έχουμε : f(x)-h^2 \leq f(x+h) \leq f(x)+h^2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow -h^2 \leq f(x+y) -f(x) \leq h (1)

Για h>0 η (1) ισοδυνάμως γράφεται : -h \leq \dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}\leq h .

Όμως \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{+}}(-h)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}h = 0 .

Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}= 0 .

Όμοίως για h<0 , είναι \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}= 0 .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f'(x) = 0 άρα f(x) = c .

2) Είναι \displaystyle{\int_{1}^{3}|f(x)|dx = \int_{1}^{3}|c|dx = |c|\int_{1}^{3}x'dx = 2|c| .
Συνεπώς |c|=4 . Άρα f(x)= 4 ή f(x)= -4 .

3) Ισχύει g''(x)=f(x)>0 οπότε g''(x)=4
Αφού η εφαπτομένη της C_g στο σημείο (0,g(0)) σχηματίζει με τον xx' γωνία \dfrac{\pi}{4} συμπεραίνουμε g'(0)=  \tan  \dfrac{\pi}{4} =  1 .

Τώρα από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ ισχύει g'(x)=4x+c_{1} και επειδή g'(0) = 1 , c_{1} =1 .
Άρα g'(x) = 4x + 1 .

Επίσης από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ ισχύει g(x)=2x^2 +x+ c_{2} και επειδή g(1) = 7 , c_{2} =4 .
Τελικά g(x) = 2x^2 +x+ 4 .

4) Τώρα για το ερώτημα αυτό το όριο μου προκύπτει μηδέν , οπότε το ολοκλήρωμα τετριμμένο.
Συγνώμη αν κάτι δεν βλέπω...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες