Πολυωνυμική

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=x^{5}-5x-1$

1)Βρείτε τα τοπικά ακρότατα και το είδος τους.

2)Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες

$r_{3}< -1< r_{2}< 1< r_{1}< 2$

3)Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς τα κοίλα

4)Αν y=ax+b

η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $(r_{3},0)$

να δείξετε ότι για $x\in (-\infty ,r_{1})$ είναι $ax+b\geq f(x)$

5)Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείετε

από την $C_{f}$ ,τον x'x

και την ευθεία x=2

είναι
$\frac{5}{3}r_{1}(r_{1}+\frac{1}{2})-\frac{4}{3}$

Συμπλήρωμα.Διατυπώνω ξανά το 5 .Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την $C_{f}$ ,τον x'x

και τις ευθείες
x=2

, $x=r_{1}$ .

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=x^{5}-5x-1$

1)Βρείτε τα τοπικά ακρότατα και το είδος τους.

2)Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες

$r_{3}< -1< r_{2}< 1< r_{1}< 2$

3)Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς τα κοίλα

4)Αν η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $(r_{3},0)$

να δείξετε ότι για $x\in (-\infty ,r_{1})$ είναι $ax+b\geq f(x)$

5)Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείετε

από την $C_{f}$ ,τον και την ευθεία

είναι
$\frac{5}{3}r_{1}(r_{1}+\frac{1}{2})-\frac{4}{3}$

...γειά σου Σταύρο και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ...με μιά προσπάθεια στο θέμα σου

1) Είναι ${f}'(x)=5{{x}^{4}}-5=5(x-1)(x+1)({{x}^{2}}+1)$ οπότε ${f}'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ {} \right.x=-1,\,\,x=1\left. {} \right\}$ και

${f}'(x)>0\Leftrightarrow x<-1,\,\,\,x>1,\,\,\,{f}'(x)<0\Leftrightarrow -1<x<1$ επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα

${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,-1],\,\,{{\Delta }_{2}}=[1,\,\,+\infty )$ και

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα ${{\Delta }_{3}}=[-1,\,\,1]$

έτσι έχει τοπικό μέγιστο το f(-1)=3

και τοπικό ελάχιστο το f(1)=-5

2) Επειδή $f({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,f(-1)]=(-\infty ,\,3]$ και το $0\in f({{\Delta }_{1}})$

υπάρχει μοναδική ρίζα $r_{3}< -1< r_{2}< 1< r_{1}< 2$ , επίσης επειδή $0\in f({{\Delta }_{3}})$ υπάρχει μοναδική ρίζα $-1<{{r}_{2}}<1$ ,

και τέλος $0\in f({{\Delta }_{2}})$ υπάρχει μοναδική ρίζα ${{r}_{1}}>1$ και επειδή f(2)=21>0

και

είναι $1<{{r}_{1}}<2$ ,

επομένως η f(x)=0

έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες $r_{3}< -1< r_{2}< 1< r_{1}< 2$

3) Είναι ${f}''(x)=20{{x}^{3}}$ και ${f}''(x)<0\Leftrightarrow x<0$ άρα η

είναι κοίλη στο $(-\infty ,\,0]$ και

${f}''(x)>0\Leftrightarrow x>0$ άρα η

είναι κυρτή στο $[0,\,\,+\infty )$

4) Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=f(x)-{f}'({{r}_{3}})x-b,\,\,\,x\in (-\infty ,\,{{r}_{1}}]$ επειδή

είναι κοίλη στο $(-\infty ,\,0]$

κάθε εφαπτομένη της στο $(-\infty ,\,0]$ θα είναι πάνω από την γραφική παράσταση της

έτσι ισχύει ότι $g(x)\le 0$ για κάθε

$x\in (-\infty ,\,0]$ και την ισότητα να ισχύει μόνο για $x={{r}_{3}}$

Αν υποθέσουμε ότι η

έχει και άλλη ρίζα ${{r}_{4}}\in (0,\,\,{{r}_{1}}]$ τότε από Rolle στο διάστημα $[{{r}_{3}},\,\,{{r}_{4}}]$

θα υπάρχει $\xi \in ({{r}_{3}},\,\,{{r}_{4}})$ ώστε ${g}'(\xi )=0$ με ${g}'(x)={f}'(x)-{f}'({{r}_{3}})=5{{x}^{4}}-5-{f}'({{r}_{3}})$

άρα θα είναι $5{{\xi }^{4}}-5-5r_{3}^{4}+5=0\Leftrightarrow {{\xi }^{4}}=r_{3}^{4}\Leftrightarrow \xi =-{{r}_{3}},\,\,\xi ={{r}_{3}}$

η περίπτωση $\xi ={{r}_{3}}$ απορρίπτεται αφού $\xi \in ({{r}_{3}},\,\,{{r}_{4}})$ και τότε $\xi =-{{r}_{3}}>1$ αφού

$r_{3}< -1< r_{2}< 1< r_{1}< 2$

Τώρα επειδή ${g}''(x)={f}''(x)>0,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ η {g}'

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ έτσι με

${{r}_{3}}<1<\xi \Rightarrow {g}'({{r}_{3}})<{g}'(1)<{g}'(\xi )\Leftrightarrow 0<{g}'(1)<0$ που είναι άτοπο άρα

$g(x)\ne 0,\,\,x\in [0,\,\,{{r}_{3}}]$ συνεχής , σταθερό πρόσημο και αφού $g(x)\le 0$ για κάθε $x\in (-\infty ,\,0]$ θα είναι

$g(x)\le 0$ για κάθε $x\in (-\infty ,\,\,{{r}_{1}}]$

5) Το εμβαδό είναι $E=\int\limits_{{{r}_{1}}}^{2}{|f(}x)|dx=\int\limits_{{{r}_{1}}}^{2}{f(}x)dx=\int\limits_{{{r}_{1}}}^{2}{({{x}^{5}}-5x-1)}dx=\left[ \frac{{{x}^{6}}}{6}-5\frac{{{x}^{2}}}{2}-x \right]_{{{r}_{1}}}^{2}=$ ή

$E=-\frac{r_{1}^{6}}{6}+\frac{5r_{1}^{2}}{2}+{{r}_{1}}-\frac{4}{3}$ και επειδή

$f({{r}_{1}})=0\Leftrightarrow r_{1}^{5}-5{{r}_{1}}-1=0\Leftrightarrow r_{1}^{5}=5{{r}_{1}}+1\Leftrightarrow r_{1}^{6}=5r_{1}^{2}+{{r}_{1}}$

έχουμε $E=-\frac{5r_{1}^{2}+{{r}_{1}}}{6}+\frac{5r_{1}^{2}}{2}+2{{r}_{1}}-\frac{4}{3}=\frac{-5r_{1}^{2}-{{r}_{1}}+15r_{1}^{2}+6{{r}_{1}}}{6}-\frac{4}{3}=\frac{10r_{1}^{2}+5{{r}_{1}}}{6}-\frac{4}{3}$ που είναι αυτό που θέλαμε.

...διόρθωσα και τις πράξεις στο (5) μετά και την διευκρήνιση του Σταύρου, και ίσως υπάρχει καλύτερος δρόμος για το (4)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η απλή λύση του 4 είναι η εξής.

Για $x\in (-\infty ,0]$ ισχύει γιατί η συνάρτηση είναι κοίλη.

Το $a=f'(r_{3})> 0$ γιατί $r_{3}< -1$

Το $b=-r_{3}f'(r_{3})> 0$ αφού $r_{3}< 0$

Αρα έχουμε $x\in (0,r_{1})\Rightarrow ax+b\geq 0$ (1)

Αλλά η μελέτη της συνάρτησης στο 1) δείχνει ότι

$x\in (0,r_{1})\Rightarrow f(x)\leq 0$ (2)

Από (1)και (2) παίρνουμε ότι η ζητούμενη ισχύει και στο $(0,r_{1})$

Πολυωνυμική

Πολυωνυμική

Re: Πολυωνυμική

Re: Πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση