Σύστημα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Απρ 04, 2017 10:06 pm

Δίνονται οι συνάρτησεις f,g ώστε \displaystyle{\begin{Bmatrix} 
f'(x)=f(x)+g(x)\\ 
\\  
g'(x)=g(x)-f(x)\\ 
\\ 
f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ 
\end{matrix}}

1) Nα αποδείξετε οτι

i) f''(x)=2g(x) και g''(x)=-2f(x)

ii) f(x)cosx=g(x)sinx

2) Nα υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}

3) \displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις f,g



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Απρ 05, 2017 12:11 am

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συνάρτησεις f,g ώστε \displaystyle{\begin{Bmatrix} 
f'(x)=f(x)+g(x)\\ 
\\  
g'(x)=g(x)-f(x)\\ 
\\ 
f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ 
\end{matrix}}

1) Nα αποδείξετε οτι

i) f''(x)=2g(x) και g''(x)=-2f(x)

ii) f(x)cosx=g(x)sinx

2) Nα υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}

3) \displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις f,g
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
1) (i) Η f' είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα f''(x)=f'(x)+g'(x)=2g(x).
Ομοίως η g' είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα g''(x)=f'(x)-g'(x)=-2f(x).

(ii) Θεωρώ h(x)= f(x)cosx- g(x)sinx, παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h'(x)=h(x) .
Από βασική εφαρμογή είναι h(x)= c e^x και επειδή h(0)=0, συμπεραίνουμε ότι h(x)=0.
Άρα f(x)cosx=g(x)sinx.

2) Από το 1) έχουμε : \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx=-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )g''(x)dx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )g''(x)dx=}

=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2} \right )g'\left ( \dfrac{\pi }{2} \right ) - \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{\pi }{2}-0 \right )g' ( 0 ) +\displaystyle{\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}g'(x)dx =

=-\dfrac{\pi }{4}g'(0)+\dfrac{1}{2} \left (g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )-g(0) \right )= -\dfrac{\pi }{4} (g(0)-f(0) ) + \dfrac{1}{2} \left (g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )-g(0) \right )=

-\dfrac{\pi }{4}  + \dfrac{1}{2} g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )-  \dfrac{1 }{2}  =  -\dfrac{\pi }{4}  -  \dfrac{1 }{2}, διότι από το (ii) έχουμε: f\left (\dfrac{\pi }{2} \right )cos \dfrac{\pi }{2} =g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )sin \dfrac{\pi }{2} , από όπου προκύπτει : g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )= 0 .

3) Ομοίως από το (ii) έχουμε: f\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )cos (-\dfrac{\pi }{2}) =g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )sin(- \dfrac{\pi }{2}) , από όπου προκύπτει : g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )= 0 .

Άρα g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )=g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right ) .

4) Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο \left [-\dfrac{\pi }{2} , \dfrac{\pi }{2}\right ] .
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{o} \in \left ( -\dfrac{\pi }{2}, \dfrac{\pi }{2} \right ) τέτοιο ώστε g'(x_{o})=0, δηλαδή f(x_{o})=g(x_{o}), με x_{o}\neq 0.

Τώρα από το (ii) για f(x_{o}) \neq 0, έχουμε : f(x_{o})cos x_{o}=g(x_{o})sin x_{o} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow cos x_{o}=sin x_{o} \Leftrightarrow tan x_{o} =1,
αφού αν cos x_{o} = 0 θα είχαμε και sin x_{o} = 0 , Άτοπο.
Από την τελευταία προκύπτει ότι x_{o} = \dfrac{\pi }{4} .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Απρ 05, 2017 12:34 am

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συνάρτησεις f,g ώστε \displaystyle{\begin{Bmatrix} 
f'(x)=f(x)+g(x)\\ 
\\  
g'(x)=g(x)-f(x)\\ 
\\ 
f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ 
\end{matrix}}

1) Nα αποδείξετε οτι

i) f''(x)=2g(x) και g''(x)=-2f(x)

ii) f(x)cosx=g(x)sinx

2) Nα υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}

3) \displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις f,g

...Καλησπέρα :logo: ...μία απάντηση...

1) i)Από {f}'(x)=f(x)+g(x) είναι {f}''(x)={f}'(x)+{g}'(x)=f(x)+g(x)+g(x)-f(x)=2g(x) και από

{g}'(x)=g(x)-f(x) έχουμε ότι {g}''(x)={g}'(x)-{f}'(x)=g(x)-f(x)-f(x)-g(x)=-2f(x)

ii) Θεωρώντας την συνάρτηση h(x)=f(x)cosx-g(x)sinx,\,\,x\in R είναι παραγωγίσιμη με

{h}'(x)={f}'(x)cosx-f(x)\sin x-{g}'(x)sinx-g(x)\cos x=

=(f(x)+g(x))cosx-f(x)\sin x-(g(x)-f(x))sinx-g(x)\cos x

=f(x)cosx-g(x)sinx=h(x) επομένως σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή ισχύει ότι h(x)=c{{e}^{x}},\,\,x\in R και επειδή

h(0)=f(0)==0 προκύπτει ότι h(0)=c{{e}^{0}}\Rightarrow 0=c επομένως h(x)=0\Leftrightarrow f(x)cosx-g(x)sinx=0,\,\,x\in R

που είναι αυτό που θέλαμε.

2) Είναι I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( x-\frac{\pi }{2} \right)}f(x)dx λόγω {g}''(x)=-2f(x)\Leftrightarrow f(x)=-\frac{1}{2}{g}''(x) ότι

I=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( x-\frac{\pi }{2} \right)}{g}''(x)dx=-\frac{1}{2}\left[ (x-\frac{\pi }{2}){g}'(x) \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{g}'(x)dx}=

=-\frac{\pi }{4}{g}'(0)+\frac{1}{2}\left[ g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{\pi }{4}{g}'(0)+\frac{1}{2}\left( g(\frac{\pi }{2})-g(0) \right)

Τώρα {g}'(0)=g(0)-f(0)=1 και από f(x)cosx=g(x)sinx είναι

f(\frac{\pi }{2})cos\frac{\pi }{2}=g(\frac{\pi }{2})sin\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0=g(\frac{\pi }{2}) επομένως I=-\frac{\pi }{4}

3) Από f(x)cosx=g(x)sinx με όπου x το \frac{\pi }{2} προκύπτει ότι

f(\frac{\pi }{2})cos\frac{\pi }{2}=g(\frac{\pi }{2})sin\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0=g(\frac{\pi }{2}) και με με όπου x το -\frac{\pi }{2}

προκύπτει ότι f(-\frac{\pi }{2})cos(-\frac{\pi }{2})=g(-\frac{\pi }{2})sin(-\frac{\pi }{2})\Rightarrow 0=-g(-\frac{\pi }{2}) άρα

g\left( -\frac{\pi }{2} \right)=g\left( \frac{\pi }{2} \right)=0

4) Από f(x)cosx=g(x)sinx με όπου x το \frac{\pi }{4} έχουμε ότι

f(\frac{\pi }{4})cos\frac{\pi }{4}=g(\frac{\pi }{4})sin\frac{\pi }{4}\Rightarrow f(\frac{\pi }{4})=g(\frac{\pi }{4})

που σημαίνει ότι έχουνε κοινό σημείο το \left( \frac{\pi }{4},\,\,{{y}_{0}} \right),\,{{y}_{0}}=f(\frac{\pi }{4})=g(\frac{\pi }{4})

ή (διαφορετικά) από g\left( -\frac{\pi }{2} \right)=g\left( \frac{\pi }{2} \right)=0 σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει

{{x}_{0}}\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2}) που

{g}'({{x}_{0}})=0\Rightarrow g({{x}_{0}})-f({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow g({{x}_{0}})=f({{x}_{0}})

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 05, 2017 3:09 pm

Μπορούμε αν θέλουμε να βρούμε τις συναρτήσεις.

Εύκολα προκύπτει ότι g''(x)-2g'(x)+2g(x)=0

Θέτοντας g(x)=e^{x}h(x)

παίρνουμε h''(x)+h(x)=0

που αν δεν κάνω λάθος είναι γνωστή(για τα σχολικά μαθηματικά)

Αλλιώς είναι γνωστότατη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες