Μίξη

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Μίξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Παρ Μαρ 31, 2017 1:34 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x)=x^2,g(x)=lnx.

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f^{−1} .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}, έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο x_0 \in (1, 3), με
\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}

5) Αν \displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}, νδο \displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Μίξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Μαρ 31, 2017 4:20 pm

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x)=x^2,g(x)=lnx.

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f^{−1} .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}, έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο x_0 \in (1, 3), με
\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}

5) Αν \displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}, νδο \displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...

1) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M(x_{1} , f(x_{1})) είναι : y=2x_{1} x - x_{1}^2 .
Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{g} στο σημείο N(x_{2} , f(x_{2})) είναι : y=\dfrac{1}{x_{2}} x +ln x_{2} -1 .

Για να είναι κοινή εφαπτομένη πρέπει να ισχύουν: 2x_{1} = \dfrac{1}{x_{2}} (1) και -x_{1}^2 = ln x_{2}-1 (2).
Αντικαθιστώντας στην (2) την (1) προκύπτει: x_{2}^2 -ln x_{2} -ln 2 -1 =0 .

Θεωρώντας, τώρα, την h(x)  = x^2 -ln x -ln 2 -1 έχουμε : h'(x)= 2x-\dfrac{1}{x}= \dfrac{(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)}{x} .

Από τα παραπάνω προκύπτει:
Για x\in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \,\,\,\,\,\ h'(x)<0. Συνεπώς η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, \frac{\sqrt{2}}{2}].

Για x\in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \,\,\,\,\,\ h'(x)>0. Συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο [\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty).

Επίσης έχουμε: h \left ( \frac{1}{e^2} \right ) =\dfrac{1}{e^2}+1-ln 2 , h\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}ln 2 <0 και h(e)=e^2-ln 2 - 2 >0 .

Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την h στο \left [ \dfrac{1}{e^2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ] .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της h στο \left ( \dfrac{1}{e^2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ) , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο \left ( 0 , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ] .

Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την h στο \left [  \dfrac{\sqrt{2}}{2} , e\right ] .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της h στο \left (  \dfrac{\sqrt{2}}{2} , e \right ) , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο \left [ \dfrac{\sqrt{2}}{2} , +\infty \right ) .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Κατά τα γνωστά είναι g^{-1}(x) = e^x .

Επομένως \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )} = \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( \dfrac{1}{e^x}\cdot sin\frac{1}{x} \right )} = \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( \dfrac{sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{xe^x} \right )} =0.

Το παραπάνω ισχύει διότι :
α) Θέτοντας u=\dfrac{1}{x} είναι :
\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }u= 0, οπότε \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\dfrac{sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{u \to 0}\dfrac{sin u}{u}  = 1

και εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital ( μορφή: \dfrac{-\infty}{+\infty}) έχουμε:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty } (xe^x)= \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{x}{e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{1}{-e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } (-e^{x}) = 0.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μίξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 01, 2017 1:36 am

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x)=x^2,g(x)=lnx.

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f^{−1} .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}, έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο x_0 \in (1, 3), με
\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}

5) Αν \displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}, νδο \displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}
...συμπληρώνοντας την λύση του φίλου μου του Σταμάτη....

3) Δεν μπορώ να καταλάβω τι θέλει ο δημιουργός …είδομεν

4) Είναι η h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{{{e}^{x}}f(x)}=\frac{1-{{x}^{2}}\ln x}{{{e}^{x}}{{x}^{2}}},x>0 παραγωγίσιμη με

{h}'(x)=\frac{{{x}^{3}}\ln x-{{x}^{2}}-x-2}{{{x}^{3}}{{e}^{x}}}=\frac{\ln x-\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}}}{{{e}^{x}}},\,\,x>0

Τώρα η συνάρτηση \phi (x)=\ln x-\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}},\,\,x>0 που είναι συνεχής με

\phi (1)=-4<0 και \phi (3)=\ln 3-\frac{14}{27}>0 αφου το \ln 3>1 σύμφωνα με το Θ. Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα

x_0 \in (1, 3) και επειδή {\phi }'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{6}{{{x}^{^{4}}}}>0,\,\,x>0 η

\phi είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty ) άρα και '1-1' επομένως η ρίζα x_0 \in (1, 3) μοναδική και για

x>{{x}_{0}}\Rightarrow \phi (x)>\phi ({{x}_{0}})=0 και για x<{{x}_{0}}\Rightarrow \phi (x)<\phi ({{x}_{0}})=0

άρα για την {h}'(x)=\frac{\phi (x)}{{{e}^{x}}},\,\,x>0 έχουμε αντίστοιχα ότι x>{{x}_{0}}\Rightarrow {h}'(x)>h({{x}_{0}})=0

άρα η h είναι γνήσια αύξουσα στο [{{x}_{0}},\,\,+\infty ) και ότι για x<{{x}_{0}}\Rightarrow {h}'(x)<h({{x}_{0}})=0

άρα η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,\,\,{{x}_{0}}] επομένως παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο x_0 \in (1, 3) το

h({{x}_{0}})=\frac{1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}}}{{{e}^{{{x}_{0}}}}x_{0}^{2}} και επειδή

{h}'({{x}_{0}})=\frac{x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2}{{{x}^{3}}{{e}^{x}}}=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2=0

x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2=0\Leftrightarrow -{{x}_{0}}-2={{x}_{0}}(1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}})\Leftrightarrow 1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}}=-\frac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}} θα είναι h({{x}_{0}})=-\frac{{{x}_{0}}+2}{{{e}^{{{x}_{0}}}}x_{0}^{3}}

5) Είναι {{I}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-f(x) \right)}^{n}}}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}}}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}(1-{{x}^{2}})}dx

=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}}dx-\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}{{x}^{2}}}dx={{I}_{n-1}}+\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}(1-{{x}^{2}}{)}'x}dx

={{I}_{n-1}}+\frac{1}{2n}\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( {{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}} \right)}^{\prime }}x}dx={{I}_{n-1}}+\left[ {{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}}x \right]_{0}^{1}-\frac{1}{2n}{{I}_{n}}

επομένως ισχύει ότι {{I}_{n}}={{I}_{n-1}}-\frac{1}{2n}{{I}_{n}}\Leftrightarrow {{I}_{n}}+\frac{1}{2n}{{I}_{n}}={{I}_{n-1}}\Leftrightarrow {{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+1}{{I}_{n-1}}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μίξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Απρ 01, 2017 8:40 am

3) Αυτό που κατάλαβα από την εκφώνηση (που θέλει βελτίωση )
με οδηγεί στο συνημμένο σχήμα , οπότε:
\displaystyle{E = \int\limits_0^1 {(\sqrt x  - {x^2})} dx = \left[ {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}}
Συνημμένα
Untitled.png
Untitled.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης