Σελίδα 1 από 1

Βασική(*fixed)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 27, 2017 1:01 pm
από erxmer
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)

Re: Βασική

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 27, 2017 1:32 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=lnx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
Στο (1,2) δεν είναι ορισμένη η συνάρτηση.Πως θα δείξουμε ότι έχει ρίζα.

Re: Βασική

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 27, 2017 11:41 pm
από KAKABASBASILEIOS
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=lnx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
...για τα δύο πρώτα ερωτήματα....

1) Είναι \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to {{0}^{-}} \\  
 u\to -\infty   
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{u}^{2}}{{e}^{u}})=\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}^{2}}}{{{e}^{-u}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2u}{-{{e}^{-u}}}=\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,-2\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{-u}}}=0=f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο 0 και επειδή είναι συνεχής στο (0,\,\,+\infty ) ως πράξεις συνεχών είναι συνεχής στο [0,\,\,+\infty )

2) Αν Fείναι μία αρχική της f στο [0,\,\,+\infty ) θα έχει την μορφή

F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\  
 & \,\,\,\,F(0),\,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right. αυτή θα είναι συνεχής άρα

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c)=c=F(0)

και παραγωγίσιμη και στο x=0και πρέπει {F}'(0)=f(0)=0

Είναι τώρα \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c-c 
}{x}=-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{x}=...=0={F}'(0)

άρα ισχύει και έτσι F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\  
 & \,\,c,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right. και \int\limits_{-1}^{0}{f}(x)dx=F(0)-F(-1)=c+e-c=e

3) Για το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} επειδή

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)) \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{-\frac{1}{x}}}+c \right)\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to -\infty  \\  
 u\to 0  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=-\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{u}}+c \right)=1+c και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x-1) \right]\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to -\infty  \\  
 u\to -\infty   
\end{smallmatrix}}{\overset{u=x-1}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F(u)=1+c το \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)-F(x-1) \right]=0

4)...όπως είπε και ο Σταυρος υπάρχει πρόβλημα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Βασική(*fixed)

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 28, 2017 11:08 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
Κάνω το 4) για να κλείσει

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη στο (1,2)

με την g(x)=e^{\frac{1}{x}}-x^{2}lnx=0

g(1)=e> 0,g(2)=e^{\frac{1}{2}}-4ln2< 0

Επίσης g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}-2xlnx-x

Από Bolzano μαζί με την μονοτονία έχει μοναδική ρίζα

e^{\frac{1}{2}}< \sqrt{3}< 1,8=4.0,45< 4ln2