Με παράμετρο

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty )\to R}$ με $\displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a}$ και $\displaystyle{a<0}$ .
1. Να μελετήσετε την $\displaystyle{{{f}_{a}}}$ ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι παρουσιάζει ολικό ακρότατο .
2. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{{{f}_{a}}}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ καθώς το $\displaystyle{a}$ μεταβάλλεται.
3. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής $\displaystyle{C}$ στην οποία ανήκει το ακρότατο της $\displaystyle{{{f}_{a}}}$
4. Να ορίσετε κατάλληλα τη $\displaystyle{C}$ ώστε να είναι συνεχής συνάρτηση στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$ και να αποδείξετε ότι έχει ολικό μέγιστο .
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C}$ και τον $\displaystyle{{x}'x}$

#2

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty )\to R}$ με $\displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a}$ και $\displaystyle{a<0}$ .
1. Να μελετήσετε την $\displaystyle{{{f}_{a}}}$ ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι παρουσιάζει ολικό ακρότατο .
2. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{{{f}_{a}}}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ καθώς το $\displaystyle{a}$ μεταβάλλεται.
3. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής $\displaystyle{C}$ στην οποία ανήκει το ακρότατο της $\displaystyle{{{f}_{a}}}$
4. Να ορίσετε κατάλληλα τη $\displaystyle{C}$ ώστε να είναι συνεχής συνάρτηση στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$ και να αποδείξετε ότι έχει ολικό μέγιστο .
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C}$ και τον $\displaystyle{{x}'x}$

ΛΥΣΗ

1) Η $\displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a}$ είναι παραγωγίσιμη με

${{{f}'}_{a}}(x)=\frac{a}{x}+1=\frac{a+x}{a}$ και ${{{f}'}_{a}}(x)=0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}=0\Leftrightarrow x=-a$ ,

${{{f}'}_{a}}(x)>0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}>0\overset{a<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,a+x<0\Leftrightarrow x>-a$ άρα η

${{f}_{a}}$ είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[-a,\,\,+\infty )$ , ${{{f}'}_{a}}(x)<0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}<0\overset{a<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,a+x>0\Leftrightarrow x<-a$ άρα η ${{f}_{a}}$

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $(-\infty ,\,\,-a]$ , επομένως στο ${{x}_{0}}=-a$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το ${{f}_{a}}(-a)=a\ln (-a)-2a$

2) Αν $A({{x}_{0}},\,\,{{y}_{0}})$ το σημείο που περνούν όλες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{{{f}_{a}}}$ θα ισχύει ότι

${{y}_{0}}=a\ln {{x}_{0}}+{{x}_{0}}-a\Leftrightarrow (\ln {{x}_{0}}-1)a+{{x}_{0}}-{{y}_{0}}=0$ για κάθε a<0

και αυτό ισχύει αν και μόνο αν

(μηδενικό πολυώνυμο) $\ln {{x}_{0}}-1=0,\,\,{{x}_{0}}-{{y}_{0}}=0$ ή $\ln {{x}_{0}}=1,\,\,{{x}_{0}}={{y}_{0}}$ ή ${{x}_{0}}={{y}_{0}}=e$ επομένως $A(e,\,\,e)$

3) Αφού ${{f}_{a}}(-a)=a\ln (-a)-2a$ η εξίσωση της καμπύλης

που ανήκει το ακρότατο είναι η $y=-x\ln x+2x,\,\,x>0$

4) Για την συνάρτηση $g(x)=-x\ln x+2x,x>0$ που είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=-\ln x-1+2=1-\ln x,\,\,x>0$

είναι ${g}'(x)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow x=e$ και ${g}'(x)>0\Leftrightarrow 1-\ln x>0\Leftrightarrow x<e$ άρα

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $(0,\,\,e]$ και ${g}'(x)<0\Leftrightarrow 1-\ln x<0\Leftrightarrow x>e$

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[e,\,\,+\infty )$ επομένως παρουσιάζει μέγιστο στο x=e

το

5) Επειδή η $g(x)=-x\ln x+2x,x>0$ δεν ορίζετε στο ${{x}_{0}}=0$ και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-xlnx+2x)=0$ αφού

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(xlnx)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\ln x}{\frac{1}{x}})\underset{DLH}{\mathop{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}\,}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}})=0$

θεωρούμε την συνάρτηση ${{g}_{0}}(x)=\left\{ \begin{matrix} & g(x),x\in (0,{{e}^{2}}] \\ & 0,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

( ..η τέμνει τον στο σημείο $({{e}^{2}},\,\,0)$ και είναι $g(x)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,{{e}^{2}})$ όπως προκύπτει από το (4))

που είναι συνεχής στο διάστημα $[0,{{e}^{2}}]$ και το ζητούμενο εμβαδό είναι $E=\int\limits_{0}^{{{e}^{2}}}{{{g}_{0}}(x)dx}=G({{e}^{2}})-G(0)$

όπου η συνάρτηση G(x)

είναι μία αρχική της συνάρτησης ${{g}_{0}}(x)$ $[0,{{e}^{2}}]$

Τώρα (…με παραγοντική…) είναι $G(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c,x\in (0,{{e}^{2}}] \\ & G(0),x=0 \\ \end{matrix} \right.$ , $c\in R$ που

που πρέπει απαραίτητα συνεχής άρα $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,G(x)=G(0)$ και είναι

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c)=c$ άρα c=G(0)

και παραγωγίσιμη και στο

${{x}_{0}}=0$ με {G}'(0)=g(0)=0

. Τώρα $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{G(x)-G(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c-c}{x}=$

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-\frac{1}{2}x\ln x+\frac{5}{4}x)=0={G}'(0)$ έτσι οι παραπάνω

(…άπειρες)

είναι μία αρχική της

στο $[0,{{e}^{2}}]$ και τότε $E=G({{e}^{2}})-G(0)=$

$=-\frac{1}{2}{{e}^{4}}\ln {{e}^{2}}+\frac{5}{4}{{e}^{4}}+c-c=\frac{1}{4}{{e}^{4}}$

...Διόρθωσα και το διάστημα στο ολοκλήρωμα μετά από Π.Μ. του Γιώργη...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με παράμετρο

Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση