Με παράμετρο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Φεβ 17, 2017 1:07 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:(0,+\infty )\to R} με \displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a} και \displaystyle{a<0}.
1. Να μελετήσετε την \displaystyle{{{f}_{a}}} ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι παρουσιάζει ολικό ακρότατο .
2. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{{{f}_{a}}} διέρχονται από σταθερό σημείο \displaystyle{A} καθώς το \displaystyle{a} μεταβάλλεται.
3. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής \displaystyle{C} στην οποία ανήκει το ακρότατο της \displaystyle{{{f}_{a}}}
4. Να ορίσετε κατάλληλα τη \displaystyle{C} ώστε να είναι συνεχής συνάρτηση στο \displaystyle{[0,+\infty )} και να αποδείξετε ότι έχει ολικό μέγιστο .
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle{C} και τον \displaystyle{{x}'x}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 17, 2017 2:54 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:(0,+\infty )\to R} με \displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a} και \displaystyle{a<0}.
1. Να μελετήσετε την \displaystyle{{{f}_{a}}} ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι παρουσιάζει ολικό ακρότατο .
2. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{{{f}_{a}}} διέρχονται από σταθερό σημείο \displaystyle{A} καθώς το \displaystyle{a} μεταβάλλεται.
3. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής \displaystyle{C} στην οποία ανήκει το ακρότατο της \displaystyle{{{f}_{a}}}
4. Να ορίσετε κατάλληλα τη \displaystyle{C} ώστε να είναι συνεχής συνάρτηση στο \displaystyle{[0,+\infty )} και να αποδείξετε ότι έχει ολικό μέγιστο .
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle{C} και τον \displaystyle{{x}'x}
ΛΥΣΗ

1) Η \displaystyle{{{f}_{a}}(x)=a\ln x+x-a} είναι παραγωγίσιμη με

{{{f}'}_{a}}(x)=\frac{a}{x}+1=\frac{a+x}{a} και {{{f}'}_{a}}(x)=0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}=0\Leftrightarrow x=-a ,

{{{f}'}_{a}}(x)>0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}>0\overset{a<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,a+x<0\Leftrightarrow x>-a άρα η

{{f}_{a}} είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [-a,\,\,+\infty ), {{{f}'}_{a}}(x)<0\Leftrightarrow \frac{a+x}{a}<0\overset{a<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,a+x>0\Leftrightarrow x<-aάρα η {{f}_{a}}

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα (-\infty ,\,\,-a], επομένως στο {{x}_{0}}=-a παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το {{f}_{a}}(-a)=a\ln (-a)-2a

2) Αν A({{x}_{0}},\,\,{{y}_{0}})το σημείο που περνούν όλες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{{{f}_{a}}} θα ισχύει ότι

{{y}_{0}}=a\ln {{x}_{0}}+{{x}_{0}}-a\Leftrightarrow (\ln {{x}_{0}}-1)a+{{x}_{0}}-{{y}_{0}}=0 για κάθε a<0 και αυτό ισχύει αν και μόνο αν

(μηδενικό πολυώνυμο) \ln {{x}_{0}}-1=0,\,\,{{x}_{0}}-{{y}_{0}}=0 ή \ln {{x}_{0}}=1,\,\,{{x}_{0}}={{y}_{0}} ή {{x}_{0}}={{y}_{0}}=e επομένως A(e,\,\,e)

3) Αφού {{f}_{a}}(-a)=a\ln (-a)-2a η εξίσωση της καμπύλης Cπου ανήκει το ακρότατο είναι η y=-x\ln x+2x,\,\,x>0

4) Για την συνάρτηση g(x)=-x\ln x+2x,x>0 που είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)=-\ln x-1+2=1-\ln x,\,\,x>0

είναι {g}'(x)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow x=e και {g}'(x)>0\Leftrightarrow 1-\ln x>0\Leftrightarrow x<e άρα

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα (0,\,\,e] και {g}'(x)<0\Leftrightarrow 1-\ln x<0\Leftrightarrow x>e

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [e,\,\,+\infty ) επομένως παρουσιάζει μέγιστο στο x=e το g(e)=e

5) Επειδή η g(x)=-x\ln x+2x,x>0 δεν ορίζετε στο {{x}_{0}}=0 και

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-xlnx+2x)=0 αφού

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(xlnx)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\ln x}{\frac{1}{x}})\underset{DLH}{\mathop{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}\,}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}})=0

θεωρούμε την συνάρτηση {{g}_{0}}(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & g(x),x\in (0,{{e}^{2}}] \\  
 & 0,x=0 \\  
\end{matrix} \right.

( ..η g τέμνει τον {x}'xστο σημείο ({{e}^{2}},\,\,0) και είναι g(x)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,{{e}^{2}}) όπως προκύπτει από το (4))

που είναι συνεχής στο διάστημα [0,{{e}^{2}}] και το ζητούμενο εμβαδό είναι E=\int\limits_{0}^{{{e}^{2}}}{{{g}_{0}}(x)dx}=G({{e}^{2}})-G(0)

όπου η συνάρτηση G(x) είναι μία αρχική της συνάρτησης {{g}_{0}}(x) [0,{{e}^{2}}]

Τώρα (…με παραγοντική…) είναι G(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c,x\in (0,{{e}^{2}}] \\  
 & G(0),x=0 \\  
\end{matrix} \right. , c\in Rπου

που πρέπει απαραίτητα συνεχής άρα \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,G(x)=G(0) και είναι

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c)=c άρα c=G(0) και παραγωγίσιμη και στο

{{x}_{0}}=0 με {G}'(0)=g(0)=0. Τώρα \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{G(x)-G(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}+c-c}{x}=

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{5}{4}{{x}^{2}}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-\frac{1}{2}x\ln x+\frac{5}{4}x)=0={G}'(0) έτσι οι παραπάνω G(…άπειρες)

είναι μία αρχική της g στο [0,{{e}^{2}}] και τότε E=G({{e}^{2}})-G(0)=

=-\frac{1}{2}{{e}^{4}}\ln {{e}^{2}}+\frac{5}{4}{{e}^{4}}+c-c=\frac{1}{4}{{e}^{4}}

...Διόρθωσα και το διάστημα στο ολοκλήρωμα μετά από Π.Μ. του Γιώργη...


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης