Zoom

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Zoom

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Φεβ 13, 2017 5:27 pm

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R \to R ώστεf(1)=1. Αν F μια αρχική της f ώστε \displaystyle{f(x)-F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2}.

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία

3) Αν h: (0,+\infty) \to R^{*} συνεχής συνάρτηση με \displaystyle{f(h(2))< \frac{2-e^2}{e^2}} και H μια αρχική της h ώστε Η(1)=0. Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{f(H(x))>\frac{2}{e}}



Λέξεις Κλειδιά:
NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Re: Zoom

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Δευ Φεβ 13, 2017 7:20 pm

Για τα πρώτα δύο
f(x)-F(x)=(x^{3})/3-x^{2}
Παραγωγιζοντας αυτή την σχέση παίρνουμε
f'(x)-f(x)=x^{2}-2x\rightarrow ×e^{-x}
(e^{-x}f(x))'=(-e^{-x}x^{2})'
e^{-x}f(x)=e^{-x}x^{2}+c
c=2/e Άραf(x)=-x^{2}+2e^{x-1}
B)παραγωγιζουμε την f
f'(x)=-2x+2e^{x-1}=2(e^{x-1}-x)
Από την γνωστή ανισότητα
lnx\leq x-1\rightarrow x=e^{x-1}
e^{x-1}-x\geq 0
Άρα η f είναι γνησιως αύξουσα


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Zoom

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Δευ Φεβ 13, 2017 7:44 pm

...και για το (3)...

Αφού το σύνολο αφίξεως της \displaystyle{h} είναι το \displaystyle{\mathbb{R^*}, ισχύει \displaystyle{h(x) \neq 0} για κάθε \displaystyle{x>0}. Όμως, η \displaystyle{h} είναι συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \displaystyle{(0,+\infty)}. Έχουμε όμως \displaystyle{f(h(2))<\frac{2-e^2}{e^2} \Leftrightarrow f(h(2))<f(-1) \leftrightarrow h(2)<-1<0}, αφού η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, είναι \displaystyle{h(x)<0} για κάθε \displaystyle{x>0} και επειδή η \displaystyle{H} είναι μια αρχική της \displaystyle{h} ισχύει \displaystyle{h(x)=H'(x)<0} για κάθε \displaystyle{x>0}, οπότε η \displaystyle{H} είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{(0,+\infty)}. Έτσι, έχουμε:
\displaystyle{f(H(x))>\frac{2}{e} \Leftrightarrow f(H(x))>f(0) \Leftrightarrow H(x)>0 \Leftrightarrow H(x)>H(1) \Leftrightarrow \boxed{x\in (0,1)}}.


Carpe Diem
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες