ΑΣΚΗΣΗ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Matteo
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

ΑΣΚΗΣΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Matteo » Σάβ Φεβ 04, 2017 1:50 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

\bullet  f(1)=6

\bullet \displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}

1. Να αποδείξετε ότι f(2)=9.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{0}\in(1,2) τέτοιο, ώστε f(x_{0})=8.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2), με \xi_{1}<\xi_{2} τέτοια ώστε: \frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1.
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι f(4)+f(5)=f(6)+f(7) τότε να δείξετε ότι υπάρχει \xi\in(4,7) τέτοιο, ώστε f\prime(\xi)=0.

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 04, 2017 2:04 pm

Matteo έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

\bullet  f(1)=6

\bullet \displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}

1. Να αποδείξετε ότι f(2)=9.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{0}\in(1,2) τέτοιο, ώστε f(x_{0})=8.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2), με \xi_{1}<\xi_{2} τέτοια ώστε: \frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1.
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι f(4)+f(5)=f(6)+f(7) τότε να δείξετε ότι υπάρχει \xi\in(4,7) τέτοιο, ώστε f\prime(\xi)=0.

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.
Δοκίμασε Bolzano στο \displaystyle{[{\xi _1},{\xi _2}]} με \displaystyle{f'({\xi _1}) = \frac{{f(4) - f(6)}}{2}}, \displaystyle{f'({\xi _2}) = \frac{{f(7) - f(5)}}{2}}, κλπ


Άβαταρ μέλους
Matteo
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Matteo » Σάβ Φεβ 04, 2017 2:35 pm

Μήπως εννοείτε; Ευχαριστώ.
george visvikis έγραψε:
Matteo έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

\bullet  f(1)=6

\bullet \displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}

1. Να αποδείξετε ότι f(2)=9.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{0}\in(1,2) τέτοιο, ώστε f(x_{0})=8.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2), με \xi_{1}<\xi_{2} τέτοια ώστε: \frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1.
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι f(4)+f(5)=f(6)+f(7) τότε να δείξετε ότι υπάρχει \xi\in(4,7) τέτοιο, ώστε f\prime(\xi)=0.

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.
Δοκίμασε Bolzano στο \displaystyle{[{\xi _1},{\xi _2}]} με \displaystyle{f'({\xi _1}) = \frac{{f(6) - f(4)}}{2}}, \displaystyle{f'({\xi _2}) = \frac{{f(7) - f(5)}}{2}}, κλπ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 04, 2017 3:00 pm

Ακριβώς αυτό. Ήθελα να γράψω \displaystyle{f'({\xi _1}) =  - \frac{{f(4) - f(6)}}{2}}, αλλά ξέχασα το πρόσημο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 04, 2017 10:09 pm

Διαφορετικά χωρίς να χρειάζεται η συνέχεια της παραγώγου.

Επειδή το \dfrac{f(4)+f(5)}{2} βρίσκετε ανάμεσα στα f(4),f(5)

από ΘΕΤ υπάρχει c\in [4,5] με f(c)=\dfrac{f(4)+f(5)}{2}

Ομοια υπάρχει d\in [6,7] με f(d)=\dfrac{f(6)+f(7)}{2}

Θεώρημα Rolle στο [c,d] μας δίνει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης