Zωηρή

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f : (0, +\infty) \to R$ για την οποία ισχύει :

f(xy) = f(x) + f(y) – 3( x- 1)(y – 1)

για κάθε

. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0=1

με

:

1) Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{6}{x} – 3}$ για κάθε x > 0

2) Να μελετηθεί η

ως προς τη μονοτονία

3) Να βρείτε τον τύπο της

4) Αν

είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C_f

, τον

και τις ευθείες

x=1,x=a,a>0

με $a \in (0,1)$ , να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{a \to 0^{+}}E(a)}$

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f : (0, +\infty) \to R$ για την οποία ισχύει :

για κάθε . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο με :

1) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{6}{x} – 3}$ για κάθε

2) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία

3) Να βρείτε τον τύπο της

4) Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , τον και τις ευθείες

με $a \in (0,1)$ , να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{a \to 0^{+}}E(a)}$

Μπορούμε να βρούμε απευθείας τον τύπο της

(εντός ύλης αλλά εκτός πνεύματος) οπότε τα υπόλοιπα έπονται αμέσως. Σε hide

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σταμ. Γλάρος · #3

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f : (0, +\infty) \to R$ για την οποία ισχύει :

για κάθε . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο με :

1) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{6}{x} – 3}$ για κάθε

2) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία

3) Να βρείτε τον τύπο της

4) Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , τον και τις ευθείες

με $a \in (0,1)$ , να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{a \to 0^{+}}E(a)}$

Καλημέρα. Μια προσπάθεια στο πνεύμα του θεματοδότη...
1. Θέτοντας στην δοθείσα x=y=1

, προκύπτει : f(1)=0 .

Επίσης $f'(1)=3\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=3$ .

Έστω $x_{o}\in(0, +\infty)$ . Πρέπει να υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x\to x_{o}} \dfrac{f(x)-f(x_{o})}{x-x{o}}$ και να είναι πραγματικός αριθμός.

Θέτω $\dfrac {x}{x_{o}} = u$ , οπότε $x\rightarrow x_{o}\Rightarrow u\rightarrow 1 .$ Επομένως έχουμε:
$\displaystyle\lim_{x\to x_{o}} \dfrac{f(x)-f(x_{o})}{x-x{o}} = \displaystyle\lim_{u\to 1} \dfrac{f(u\cdot x_{o})-f(x_{o})}{u\cdot x_{o}-x{o}} = \displaystyle\lim_{u\to 1} \dfrac{f(u)+f( x_{o})-3(u-1)(x_{o}-1)-f(x_{o})}{ x_{o}(u-1)} = \dfrac{f'(1)}{x_{o}}-3\left ( 1-\dfrac{1}{x_{o}} \right ) = \dfrac{6}{x_{o}}-3.$
Άρα $f' (x)= \dfrac{6}{x}-3$ .

2. Είναι $f' (x)= \dfrac{6}{x}-3 = \dfrac {3(2-x)}{x}.$

Πινακάκι κλπ.

γνησίως αύξουσα στο (0,2]

και γνησίως φθίνουσα στο $[2, +\infty)$ .

3. Είναι f'(x)= (6lnx-3x)'

. Από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ προκύπτει f(x)= 6lnx-3x +c

.
Όμως

. Άρα

, οπότε

.

4. Από την μονοτονία της

και το γεγονός ότι f(1)=0

προκύπτει ότι $f(x)<0 ,\,\, \forall x\in [a,1]$ .
Άρα $E(a)=-\int_{a}^{1}f(x)dx=...= 3\left ( 2alna-3a -\dfrac{3}{2}a^2+6\right )$ (αν ...δεν έχω κάνει κανένα λάθος στις πράξεις).
Συνεπώς $\displaystyle{\lim_{a \to 0^{+}}E(a)}= 18.$

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Zωηρή

Zωηρή

Re: Zωηρή

Re: Zωηρή

Μέλη σε σύνδεση