mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 26, 2017 9:19 pm**

Μια καλή επαναληπτική άσκηση με βάση ένα ερώτημα του σχολικού είναι η παρακάτω :

ΘΕΜΑ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x{{e}^{1\,-\,x}}$ .

Α. Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Β. Να μελετήσετε την

ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της

.

Δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

και να κάνετε τη γραφική παράσταση της

.

Ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ${{C}_{f}}$ , τον άξονα x'x

και την ευθεία x=3

.

Μπ

Στο συνημμένο αρχείο υπάρχει και η λύση από τη συνάδελφο Φωτεινή Καλδή, την οποία και ευχαριστώ !!!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 27, 2017 12:59 am**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια καλή επαναληπτική άσκηση με βάση ένα ερώτημα του σχολικού είναι η παρακάτω :

ΘΕΜΑ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x{{e}^{1\,-\,x}}$ .

Α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Β. Να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της .

Δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της και να κάνετε τη γραφική παράσταση της .

Ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ${{C}_{f}}$ , τον άξονα και την ευθεία .

Δεν έχω δει τη λύση της Φωτεινής αλλά μιας και την έπιασα το αναρτώ. Φωτεινή και Μπάμπη συμπαθάτε με.

(α) - (β) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με πρώτη παράγωγο την $f'(x)=e^{1-x}(1-x) , \; x \in \mathbb{R}$ και δεύτερη παράγωγο την $f''(x)=e^{1-x}(x-2) , \;x \in \mathbb{R}$ . Η μονοτονία και κοιλότητα φαίνονται στον επόμενο πίνακα:

: monotony.png (28.44 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Έχουμε ακρότατο στο x=1

όπου η

εκεί παρουσιάζει ολικό μέγιστο με f(1)=1

ενώ σημείο καμπής στο x=2

και μάλιστα $f(2)=2e^{-1}$ .

(γ) - (δ) Η

έχει μόνο οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα x'x

στο $+\infty$ αφού δε μπορεί να παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμπτωτες εφόσον είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και όπως εύκολα διαπιστώνουμε δεν υπάρχει ασύμπτωτη στο $-\infty$ . Το σύνολο τιμών αυτής είναι το $(-\infty, 1]$ αφού το σύνολο τιμών στα επιμέρους διαστήματα μονοτονίας είναι το $(-\infty, 1]$ και (0, 1]

. Παίρνοντας την ένωση βγάζουμε το ζητούμενο.

Σύμφωνα με τα παραπάνω η γραφική παράσταση της

είναι η παρακάτω:

: graph.jpg (6.53 KiB) Προβλήθηκε 1014 φορές

(ε) Παρατηρούμε ότι f(0)=0

. Επίσης στο διάστημα [0, 3]

η

είναι τετριμμένα θετική. Οπότε το εμβαδόν είναι ίσο με:
$\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{0}^{3} f(x) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{3} x e^{1-x} \, {\rm d}x\\ &= \left [ -x e^{1-x} \right ]_0^3 + \int_{0}^{3} e^{1-x} \, {\rm d}x\\ &= -3 e^{-2} -\left [ e^{1-x} \right ]_0^3 \\ &=e - \frac{4}{e^2} \end{aligned}$ Μπάμπη, ποιο ερώτημα του σχολικού είναι;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 27, 2017 10:06 am**

[quote="Tolaso J Kos"]
Μπάμπη, ποιο ερώτημα του σχολικού είναι;

Γεια σου Τόλη!

Είναι η άσκηση 2i)

της

Ομάδας στο κεφάλαιο της κυρτότητας (στο δικό μου βιβλίο είναι στη σελίδα 277.

)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 27, 2017 2:12 pm**

george visvikis έγραψε: Γεια σου Τόλη!

Είναι η άσκηση της Ομάδας στο κεφάλαιο της κυρτότητας (στο δικό μου βιβλίο είναι στη σελίδα )

Γιώργο, ευχαριστώ.

mathematica.gr

ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ