Νωρίς ακόμα...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Νωρίς ακόμα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιαν 10, 2017 8:03 pm

Μία κατασκευή. Αν και τα ολοκληρώματα δεν έχουν κάνει την εμφάνιση τους ακόμα, παραθέτω το παρακάτω θέμα.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ \alpha ,\beta  \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με \alpha <0<\beta, για την οποία ισχύουν:

\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f^{2}(\alpha )+f^{2}(\beta )+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 2\left [ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right ]}

\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}0\neq f'(x)\leq 1}, για κάθε x\in \left [ \alpha ,\beta  \right ].

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \left [ \alpha ,\beta  \right ].
(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x'x σε μοναδικό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε.
(γ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f\left ( \left ( f(x)-\alpha  \right )\left ( f(x)-\beta  \right ) \right )\leq 0}, για κάθε x\in \left [ \alpha ,\beta  \right ].
(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f^{-1}. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle -\hspace{3mm} (i) \int_{\alpha }^{\beta }\left ( f(x)+f^{-1}(x) \right )dx=\beta ^{2} -\alpha ^{2}

\displaystyle  -\hspace{3mm} (ii) \int_{\alpha }^{\beta }f^{2}(x)dx-\left ( \alpha +\beta  \right )\int_{\beta }^{\alpha }f^{-1}(x)dx<\beta ^{3}-\alpha ^{3}

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Φυσικά μπορούμε να ''χαλαρώσουμε'' την συνθήκη της συνέχειας της f'. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και κάποιες προσεγγίσεις χωρίς Darboux.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1555
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Νωρίς ακόμα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιαν 10, 2017 11:51 pm

M.S.Vovos έγραψε:Μία κατασκευή. Αν και τα ολοκληρώματα δεν έχουν κάνει την εμφάνιση τους ακόμα, παραθέτω το παρακάτω θέμα.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ \alpha ,\beta  \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με \alpha <0<\beta, για την οποία ισχύουν:

\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f^{2}(\alpha )+f^{2}(\beta )+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 2\left [ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right ]}

\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}0\neq f'(x)\leq 1}, για κάθε x\in \left [ \alpha ,\beta  \right ].

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \left [ \alpha ,\beta  \right ].
(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x'x σε μοναδικό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε.
(γ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f\left ( \left ( f(x)-\alpha  \right )\left ( f(x)-\beta  \right ) \right )\leq 0}, για κάθε x\in \left [ \alpha ,\beta  \right ].
(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f^{-1}. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle -\hspace{3mm} (i) \int_{\alpha }^{\beta }\left ( f(x)+f^{-1}(x) \right )dx=\beta ^{2} -\alpha ^{2}

\displaystyle  -\hspace{3mm} (ii) \int_{\alpha }^{\beta }f^{2}(x)dx-\left ( \alpha +\beta  \right )\int_{\beta }^{\alpha }f^{-1}(x)dx<\beta ^{3}-\alpha ^{3}

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Φυσικά μπορούμε να ''χαλαρώσουμε'' την συνθήκη της συνέχειας της f'. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και κάποιες προσεγγίσεις χωρίς Darboux.
...την Καλήσπέρα μου στη παρέα με μία παρατήρηση στο θέμα του Μάριου....

Από {{f}^{2}}(\alpha )+{{f}^{2}}(\beta )+{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}\le 2\left[ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right]\Leftrightarrow

\Leftrightarrow {{\left( f(a)-\alpha  \right)}^{2}}+{{\left( f(\beta )-\beta  \right)}^{2}}\le 0 επομένως αναγκαία

f(a)-\alpha =f(\beta )-\beta =0 δηλαδή είναι f(a)=\alpha ,\,\,f(\beta )=\beta

Και από {f}'(x)\le 1\Leftrightarrow {{\left( f(x)-x \right)}^{\prime }}\le 0,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\beta ] για την

g(t)=f(t)-t,\,\,\,t\in [\alpha ,\,\beta ] από Θ.Μ.Τ. στα [\alpha ,\,x],\,\,[x,\,\beta ],\,\,\,x\in (\alpha ,\,\beta ) υπάρχουν

{{x}_{1}}\in (\alpha ,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,\beta ) που

{g}'({{x}_{1}})=\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha },\,\,{g}'({{x}_{2}})=\frac{g(\beta )-g(x)}{\beta -x} και επειδή

{g}'({{x}_{1}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }\le 0\Leftrightarrow g(x)\le g(\alpha ) και

{g}'({{x}_{2}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(\beta )-g(x)}{x-\alpha }\le 0\Leftrightarrow g(\beta )\le g(x)

και ακόμη g(\alpha )=g(\beta )=0 θα ισχύει ότι g(x)=0,\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta ) και τελικά

g(x)=0,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\beta ] δηλαδή f(x)=x,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\beta ]

και έτσι τα υπόλοιπα ερωτήματα γίνονται τετριμμένα… δεν ξέρω αν έχω κάνει καμμιά πατάτα...
θα μας πει ο δημιουργός

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Νωρίς ακόμα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Ιαν 11, 2017 12:53 am

Καλησπέρα κ. Βασίλη! Καλή χρονιά!

Με "καθαρίσατε" στα γρήγορα :D!

Με μια γρήγορη ματιά μου φαίνεται σωστό αυτό που έχετε γράψει. Οπότε φυσικά και μετά όλα είναι τετριμμένα.

Για άλλο πήγαινα και άλλο προέκυψε. Μέσα από μια όμορφη λύση δημιουργήθηκε μια όμορφη άσκηση.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης