Νew year

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Νew year

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Ιαν 01, 2017 5:55 pm

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : R \to R ώστε: \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(x)=ln(g(x)+x)\\ 
\\ 
\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{g(x)}}\\ 
\\ 
g(x)>0, g(x)+x>0\\ 
\\ 
g(0)=1\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων

2) Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{f(x^2+2)+f(2x)>f(x^2)+f(2x+2), x>0}

3) \displaystyle{\exists a>0: g(a) \cdot ln (\sqrt{x^2+1}+x)=x, x>0}

4) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{f(t)}{g(t)}dt}



Λέξεις Κλειδιά:
andreas576
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 08, 2015 9:55 pm

Re: Νew year

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas576 » Κυρ Ιαν 01, 2017 11:47 pm

{f}'(x)=\frac{1}{g(x)}=\frac{{g}'(x)+1}{g(x)+x}\Leftrightarrow {g}'(x)g(x)=x\Leftrightarrow g(x)=\sqrt{x^{2}+c}
με c=1 αφού g(0)=0 και f(x)=ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)
Έστω h(x)=f(x+2)-f(x) , x>0
h γν.φθίνουσα αρα h(x^{2})>h(2x)\Leftrightarrow x^{2}<2x\Leftrightarrow x<2

Έστω x>0 από ΘΜΤ για την f στο [0,x] ,\exists a\in (0,x):\frac{f(x)}{x}=f'(a)=\frac{1}{g(a)}

\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)f'(x) Άρα \int_{0}^{1}\frac{f(t)}{g(t)}dt=\frac{f^{2}(1)}{2}-\frac{f^{2}(0)}{2}=\frac{[ln({\sqrt{2}+1)}]^2}{2}


andreas576
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 08, 2015 9:55 pm

Re: Νew year

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas576 » Δευ Ιαν 02, 2017 1:20 am

andreas576 έγραψε:{f}'(x)=\frac{1}{g(x)}=\frac{{g}'(x)+1}{g(x)+x}\Leftrightarrow {g}'(x)g(x)=x\Leftrightarrow g(x)=\sqrt{x^{2}+c}
με c=1 αφού g(0)=0 και f(x)=ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)
Έστω h(x)=f(x+2)-f(x) , x>0
h γν.φθίνουσα αρα h(x^{2})>h(2x)\Leftrightarrow x^{2}<2x\Leftrightarrow x<2

Έστω x>0 από ΘΜΤ για την f στο [0,x] ,\exists a\in (0,x):\frac{f(x)}{x}=f'(a)=\frac{1}{g(a)}

\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)f'(x) Άρα \int_{0}^{1}\frac{f(t)}{g(t)}dt=\frac{f^{2}(1)}{2}-\frac{f^{2}(0)}{2}=\frac{[ln({\sqrt{2}+1)}]^2}{2}
Επειδή λείπουν πράγματα.
για το (α):Έχουμε οτι η g ειναι θετική g'(x)g(x)=x\Leftrightarrow g^{2}(x)=x^{2}+c\Leftrightarrow g(x)=\sqrt{x^{2}+c} και g(0)=1 αρα
c=1

Στο (β) h'(x)=\frac{1}{g(x+2)}-\frac{1}{g(x)}< 0 αφού g γν.αύξουσα στο (0,+\infty )

Τέλος για το (δ) έχουμε οτι (\frac{f^{2}(x)}{2})'=f'(x)f(x)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης