Σελίδα 1 από 1

Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 4:57 pm
από chris_gatos
Καλησπέρα.
Ξεψαχνίζοντας διάφορα βοηθητικά βιβλία που περιέχουν πολλές συνδυαστικές ασκήσεις στην ύλη της Γ'Λυκείου
το μάτι μου έπεσε πάνω σε μερικές που ναι μεν έχουν πρόβλημα, έχουν όμως διδακτική αξία όσον αφορά την εύρεση του
λάθους. Και σε αυτές που θα παραθέσω δε φταίει φυσικά ο δαίμων του τυπογραφείου απλά η κακιά στιγμή.

Η πρώτη που επέλεξα είναι από κάποιο εξαιρετικό βιβλίο που βγήκε πρίν από περίπου δέκα χρόνια. Βρείτε τα λάθη σε εκφώνηση και λύση.

Εκφώνηση
Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  + 1 = 2\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx} }

α. Να δείξετε ότι \displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  + 1 \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }.

β. Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο [0,1].

Λύση

α. Για κάθε \displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]} ισχύει \displaystyle{{e^x} \ge x + 1 \Leftrightarrow f({e^x}) \le f(x + 1)}

Θέτουμε u=x+1οπότε

\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  \le \int\limits_0^1 {f(x)dx}  \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }

β. Από την υπόθεση έχουμε \displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  + 1 = 2\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le 2\int\limits_0^1 {f(x)dx} }
άρα
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  - 2\int\limits_0^1 {f(x)dx}  + 1 \le 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f(x) - 1} \right)}^2}dx}  \le 0,{\rm{ (1)}}}

επειδή \displaystyle{{\left( {f(x) - 1} \right)^2} \ge 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]} για να ισχύει η \displaystyle{(1)} πρέπει \displaystyle{{\left( {f(x) - 1} \right)^2} = 0}\displaystyle{ \Leftrightarrow f(x) = 1,} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}

Υ.Γ: Θα παρακαλέσω όσους επιλέξουν να συμμετέχουν ας το κάνουν αναλυτικά και με επεξηγήσεις αφού μπορεί να διαβάζουν και μαθητές.
Η μέθοδος της παράθεσης και του κοκκινίσματος και κατόπιν του σχολιασμού είναι μια χαρά.

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 5:09 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Ας αρχίσουμε από τα τυπογραφικά
Η εκφώνηση του α) νομίζω ότι είναι:
\int_{-1}^{0}f(e^{x})dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 5:15 pm
από chris_gatos
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Ας αρχίσουμε από τα τυπογραφικά
Η εκφώνηση του α) νομίζω ότι είναι:
\int_{-1}^{0}f(e^{x})dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx

Καλησπέρα Σταύρο. Θα διαφωνήσω μαζί σου. Η άσκηση δεν έχει τυπογραφικά αλλά μαθηματικά λάθη. Αρκεί να δείτε
τη λύση του ίδιου βιβλίου όπου θα διαπιστώσετε πως λαμβάνει αυτούσια τη σχέση της εκφώνησης.

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 6:15 pm
από margk
Αφού η συνάρτηση είναι γν.φθίνουσα στο [-1,1] πως μπορεί να είναι σταθερή στο [0,1];

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 6:41 pm
από spege
Το λάθος είναι στο θέτω u=x+1 αλλά το u ανήκει στο [0,2] που δεν ορίζεται η και στη πρώτη σειρά στη δεύτερη ανίσωση

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2016 7:48 pm
από xr.tsif
chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Ξεψαχνίζοντας διάφορα βοηθητικά βιβλία που περιέχουν πολλές συνδυαστικές ασκήσεις στην ύλη της Γ'Λυκείου
το μάτι μου έπεσε πάνω σε μερικές που ναι μεν έχουν πρόβλημα, έχουν όμως διδακτική αξία όσον αφορά την εύρεση του
λάθους. Και σε αυτές που θα παραθέσω δε φταίει φυσικά ο δαίμων του τυπογραφείου απλά η κακιά στιγμή.

Η πρώτη που επέλεξα είναι από κάποιο εξαιρετικό βιβλίο που βγήκε πρίν από περίπου δέκα χρόνια. Βρείτε τα λάθη σε εκφώνηση και λύση.



α. Να δείξετε ότι \displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  + 1 \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }.



Λύση

α. Για κάθε \displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]} ισχύει \displaystyle{{e^x} \ge x + 1 \Leftrightarrow f({e^x}) \le f(x + 1)}

Θέτουμε u=x+1οπότε

\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  \le \int\limits_0^1 {f(x)dx}  \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }

.
αν προσθέσουμε την μονάδα στο α μέλος παραμένει μικρότερο;