Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 12, 2016 4:57 pm

Καλησπέρα.
Ξεψαχνίζοντας διάφορα βοηθητικά βιβλία που περιέχουν πολλές συνδυαστικές ασκήσεις στην ύλη της Γ'Λυκείου
το μάτι μου έπεσε πάνω σε μερικές που ναι μεν έχουν πρόβλημα, έχουν όμως διδακτική αξία όσον αφορά την εύρεση του
λάθους. Και σε αυτές που θα παραθέσω δε φταίει φυσικά ο δαίμων του τυπογραφείου απλά η κακιά στιγμή.

Η πρώτη που επέλεξα είναι από κάποιο εξαιρετικό βιβλίο που βγήκε πρίν από περίπου δέκα χρόνια. Βρείτε τα λάθη σε εκφώνηση και λύση.

Εκφώνηση
Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  + 1 = 2\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx} }

α. Να δείξετε ότι \displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  + 1 \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }.

β. Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο [0,1].

Λύση

α. Για κάθε \displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]} ισχύει \displaystyle{{e^x} \ge x + 1 \Leftrightarrow f({e^x}) \le f(x + 1)}

Θέτουμε u=x+1οπότε

\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  \le \int\limits_0^1 {f(x)dx}  \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }

β. Από την υπόθεση έχουμε \displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  + 1 = 2\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le 2\int\limits_0^1 {f(x)dx} }
άρα
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx}  - 2\int\limits_0^1 {f(x)dx}  + 1 \le 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f(x) - 1} \right)}^2}dx}  \le 0,{\rm{ (1)}}}

επειδή \displaystyle{{\left( {f(x) - 1} \right)^2} \ge 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]} για να ισχύει η \displaystyle{(1)} πρέπει \displaystyle{{\left( {f(x) - 1} \right)^2} = 0}\displaystyle{ \Leftrightarrow f(x) = 1,} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}

Υ.Γ: Θα παρακαλέσω όσους επιλέξουν να συμμετέχουν ας το κάνουν αναλυτικά και με επεξηγήσεις αφού μπορεί να διαβάζουν και μαθητές.
Η μέθοδος της παράθεσης και του κοκκινίσματος και κατόπιν του σχολιασμού είναι μια χαρά.


Χρήστος Κυριαζής
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2684
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 12, 2016 5:09 pm

Ας αρχίσουμε από τα τυπογραφικά
Η εκφώνηση του α) νομίζω ότι είναι:
\int_{-1}^{0}f(e^{x})dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 12, 2016 5:15 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Ας αρχίσουμε από τα τυπογραφικά
Η εκφώνηση του α) νομίζω ότι είναι:
\int_{-1}^{0}f(e^{x})dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx

Καλησπέρα Σταύρο. Θα διαφωνήσω μαζί σου. Η άσκηση δεν έχει τυπογραφικά αλλά μαθηματικά λάθη. Αρκεί να δείτε
τη λύση του ίδιου βιβλίου όπου θα διαπιστώσετε πως λαμβάνει αυτούσια τη σχέση της εκφώνησης.


Χρήστος Κυριαζής
margk
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Δευ Σεπ 12, 2016 6:15 pm

Αφού η συνάρτηση είναι γν.φθίνουσα στο [-1,1] πως μπορεί να είναι σταθερή στο [0,1];


MARGK
Άβαταρ μέλους
spege
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Δευ Απρ 27, 2009 10:24 pm

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spege » Δευ Σεπ 12, 2016 6:41 pm

Το λάθος είναι στο θέτω u=x+1 αλλά το u ανήκει στο [0,2] που δεν ορίζεται η και στη πρώτη σειρά στη δεύτερη ανίσωση
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Δευ Σεπ 12, 2016 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα LaTeX


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Η διδακτική αξιοποίηση του λάθους.(1)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Σεπ 12, 2016 7:48 pm

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Ξεψαχνίζοντας διάφορα βοηθητικά βιβλία που περιέχουν πολλές συνδυαστικές ασκήσεις στην ύλη της Γ'Λυκείου
το μάτι μου έπεσε πάνω σε μερικές που ναι μεν έχουν πρόβλημα, έχουν όμως διδακτική αξία όσον αφορά την εύρεση του
λάθους. Και σε αυτές που θα παραθέσω δε φταίει φυσικά ο δαίμων του τυπογραφείου απλά η κακιά στιγμή.

Η πρώτη που επέλεξα είναι από κάποιο εξαιρετικό βιβλίο που βγήκε πρίν από περίπου δέκα χρόνια. Βρείτε τα λάθη σε εκφώνηση και λύση.



α. Να δείξετε ότι \displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  + 1 \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }.



Λύση

α. Για κάθε \displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]} ισχύει \displaystyle{{e^x} \ge x + 1 \Leftrightarrow f({e^x}) \le f(x + 1)}

Θέτουμε u=x+1οπότε

\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^0 {f({e^x})dx}  \le \int\limits_0^1 {f(x)dx}  \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{e^x}} \right)} dx \le \int\limits_0^1 {f(x)dx} }

.
αν προσθέσουμε την μονάδα στο α μέλος παραμένει μικρότερο;


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης