Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Κυρ Μαρ 06, 2016 10:36 pm

M.S.Vovos έγραψε: Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, \xi \in (0,1) τέτοιο, ώστε \displaystyle f(\xi )\left ( 1+\pi \xi \sigma \upsilon \nu (\pi \xi ) \right )=-\xi.
Μια διαφορετική αντιμετώπιση,

\displaystyle Rolle για την \displaystyle{h(x)={e}^{sin(\pi x)}\cdot f(x)} στο \displaystyle \left[0,1 \right]


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Μαρ 07, 2016 10:58 am

M.S.Vovos έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 5

Έστω η παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} συνάρτηση f, με f(2016)=2016 και η συνεχής στο \mathbb{R} συνάρτηση g, με g(x)\neq 0, για κάθε x\in \mathbb{R}. Αν ισχύει g(x)f'(x)=g(f(x)), για κάθε x\in \mathbb{R}, να δείξετε ότι f(x)=x, για κάθε x\in \mathbb{R}.
Έστω G αρχική της \frac {1}{g(x)} .Τότε η δοσμένη γράφεται :

\frac {1}{g(x)} = \frac {f'(x)}{g(f(x))} , δηλαδή G'(x)=(G(f(x))'

Η συνέχεια είναι σχεδόν ρουτίνα. Αξίζει μόνο να εξάγουμε ότι η G είναι 1-1 , αλλά η παράγωγος της G διατηρεί πρόσημο ως συνεχής και χωρίς ρίζες, οπότε

η G είναι γνησίως μονότονη.

Μπ


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 918
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Μαρ 08, 2016 12:09 am

ΑΣΚΗΣΗ 9 Ζανταρίδης

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R \rightarrow R ισχύει

lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+(h-1)f(x)}{sinh} = (2x-3)e^{x}+e^{-x} , για κάθε x \in R και

f(0)=0

Α) Να δείξετε ότι e^{x}(f'(x)+f(x))=(2x-3)e^{2x}+1

Β) Να δείξετε ότι f(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)e^{-x}

Γ) Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα.

Δ) Να δείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων.

Ε) Να δείξετε ότι αν x_{1},x_{2} είναι οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f , τότε είναι x_{1}+x_{2}=0


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 918
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Μαρ 08, 2016 12:13 am

Rempeskes έγραψε:
Υ.Γ.: Προτείνω σε αυτόν τον φάκελο, επειδή δημιουργήθηκε (σύμφωνα και με τον τίτλο του θεματοθέτη) αποκλειστικά για τους μαθητές της Γ' Λυκείου, να μπαίνει μια ημερομηνία για την λύση του εκάστοτε θέματος, και αν δεν λυθεί μέχρι αυτήν την ημερομηνία (είτε αν θέλουμε να προσθέσουμε κάτι σε μια ήδη λυμένη) να παρεμβαίνουμε οι υπόλοιποι.
Ναι, δεν είναι κακή ιδέα. Αν όχι σε όλες, ας το κάνουμε σε μερικές που έχουν ίσως κάποιο παραπάνω διδακτικό ενδιαφέρον.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
nikolaos p.
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolaos p. » Τρί Μαρ 08, 2016 7:36 am

Πολύ σωστά. ;)


ΕικόναΕικόνα
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 918
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Μαρ 08, 2016 10:07 am

ΑΣΚΗΣΗ 10 Πατήλας
ας ασχοληθούν οι μαθητές λοιπόν μέχρι την Παρασκευή 11 Μαρτίου

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= \frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^{2}+1}}} , x \in R

Α) Να δείξετε ότι 2f'(x) \sqrt{x^{2}+1}=-f(x)

Β) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f(x)

Γ) Να αποδείξετε ότι \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} dx = ln(3+2 \sqrt{2})

Δ) Αν για τη συνεχή συνάρτηση g:[-1,1] \rightarrow R ισχύει : \int_{-1}^{1} \frac{xg(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}dx > ln(3+2 \sqrt{2}) ,

να δείξετε ότι η εξίσωση g(x)= \frac{1}{x} έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-1,1) .


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Τρί Μαρ 08, 2016 4:34 pm

ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια προσωπική κατασκευή

Έστω συναρτήσεις f,g,h:R\rightarrow R συνεχείς, με g(0)>0 και ισχύουν:

\displaystyle{ 
\, \bullet \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{\,f(\,x\,)\,\, - \,\,g(\,x\,)}}{x} = \,1\,\,\,\,\, 
}

\displaystyle{ 
 \bullet \,\,\,\,\,f^{\,2\,} (\,x\,) + 6\,x\,f(x) - e^{x^{\,2} \, - \,\,x} \,\, = \,\,3 - 9x^2 \, 
}\;\;\;\; 
\displaystyle{ 
{\,\forall x \in \Re } 
}

ενώ η συνάρτηση h δίνεται από τον τύπο :
\displaystyle{ 
\,h\,(\,x\,) = \int\limits_1^x {[\,f(t) + 3t\,]\,dt + 2x\,\,,\,\,\,\,x \in \Re }  
}
Να δείξετε ότι:
Ι) f(0)=2

II)η h είναι 1-1

III)η εξίσωση: \displaystyle{ 
h\,[\,h\,(\,x^3  + 3x\,) - h\,(\,x^3  + \sqrt {e^{x^{\,2} \, - \,\,x}  + 3\,} \,)\, + 1\,]\,\, = \,\,2\,\, 
}

έχει ρίζα στο διάστημα ( 0 , 1 )


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μαρ 08, 2016 8:45 pm

Δεν θυμάμαι αν την έχω στο αρχείο μου, οπότε την βάζω στη συλλογή και..... τα καλά πνεύματα ας είναι με το μέρος μαθητών και καθηγητών ! :) :) :)

ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\to (0,+\infty ) και έστω F η αρχική της f με F(0)=0 που ικανοποιεί την ιδιότητα :

F(x)+\ln f(x)=\ln (\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x)-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}

α) Να αποδείξετε ότι f(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\,,\,x\in R

β) Να αποδείξετε ότι \int_{\,0}^{3}{F({{x}^{2}})dx<9}

γ) Να λύσετε το σύστημα : F(x) = y,F(y) = z,F(z) = x

Μπάμπης

( Η συνέχεια μπορεί και να παραληφθεί.)


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Μαρ 08, 2016 10:39 pm

papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} με f(1)=0, για την οποία ισχύει \displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}, για κάθε x>0.

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.



Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Τετ Μαρ 09, 2016 4:17 am

M.S.Vovos έγραψε:
papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} με f(1)=0, για την οποία ισχύει \displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}, για κάθε x>0.

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.



Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος


Σωστό είναι Μάριε.

Το έγραψε εν συντομία.

Διαίρεσε με \displaystyle x^2, \displaystyle \Rightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}={e}^{\frac{f(x)}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}

μετά με {e}^{\frac{f(x)}{x}}, \displaystyle \Rightarrow \left[{e}^{-\frac{f(x)}{x}}\left(-\frac{f(x)}{x} \right)' \right]=-\frac{1}{x^2}


\displaystyle \Rightarrow \left({e}^{-\frac{f(x)}{x}} \right)'=\left(\frac{1}{x} \right)' \Rightarrow ....


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Τετ Μαρ 09, 2016 2:36 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δεν θυμάμαι αν την έχω στο αρχείο μου, οπότε την βάζω στη συλλογή και..... τα καλά πνεύματα ας είναι με το μέρος μαθητών και καθηγητών ! :) :) :)

ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\to (0,+\infty ) και έστω F η αρχική της f με F(0)=0 που ικανοποιεί την ιδιότητα :

F(x)+\ln f(x)=\ln (\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x)-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}

α) Να αποδείξετε ότι f(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\,,\,x\in R

β) Να αποδείξετε ότι \int_{\,0}^{3}{F({{x}^{2}})dx<9}

γ) Να λύσετε το σύστημα : F(x) = y,F(y) = z,F(z) = x

Μπάμπης

( Η συνέχεια μπορεί και να παραληφθεί.)
Μια λύση σε αυτήν την όμορφη άσκηση :coolspeak: .

α)Έχουμε
\displaystyle{ 
F(x) + \ln F'(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,}  + x\,) + \ln \frac{1}{{\sqrt {\,1 + x^2 \,} }} \Leftrightarrow  
}

\displaystyle{ 
F(x) + \ln F'(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,}  + x\,) + \ln [\ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,}  + x\,)]'\mathop  \Leftrightarrow \limits^{g(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,}  + x\,)}  
}

\displaystyle{ 
\ln [e^{F(x)} F'(x)]\,\, = \ln [e^{g(x)} g'(x)] \Leftrightarrow e^{F(x)} F'(x) = e^{g(x)} g'(x) \Leftrightarrow [e^{F(x)} ]' = [e^{g(x)} ]' 
}

\displaystyle{ 
F(x) = g(x) + c,\,\,\,c \in \Re \,\, 
}

όμως είναι F(0)=0 και (αφού c=0) προκύπτει

\displaystyle{ 
\,F(x) = g(x)\,\, \Rightarrow F(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,}  + x\,)\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\, 
}

και το ζητούμενο έπεται.

β)Είναι:
\displaystyle{ 
F''(x) = \frac{{ - x}}{{(1 + x^2 )\sqrt {\,1 + x^2 \,} }}\,, 
}


\displaystyle{ 
F''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,F''(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ,0),F''(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0, + \infty ) 
}

Από την κυρτότητα προκύπτει :

\displaystyle{ 
x \in [0, + \infty )\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,F(\,x\,)\,\, \le \,\,x\,\,\,\,\,\mathop  \Rightarrow \limits^{x^2  \ge 0} F(\,x^2 ) \le x^2 \,\,(2) 
}

και ολοκληρώνοντας

\displaystyle{ 
\int\limits_0^3 {F(\,x^2 )dx}  < \int\limits_0^3 {x^2 dx = 9}  \Rightarrow \int\limits_0^3 {F(\,x^2 )dx}  < 9 
}

γ)Το σύστημα είναι ισοδύναμο με την λύση της εξίσωσης:F(F(F(x)))=x.
Έστω x ρίζα της εξίσωσης αυτής , αν είναι F(x)\neq x έχουμε π.χ.
\displaystyle{ 
 \bullet F(x) > x\,\,\mathop  \Rightarrow \limits^{F \uparrow } F(F(x)) > F(x) > x \Rightarrow F(F(F(x))) > F(F(x)) > F(x) > x \Rightarrow x>x 
} που είναι αδύνατο.
Λόγω κυρτότητας έχουμε πως μοναδική λύση είναι η x=0 άρα τελικά x=y=z=0


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μαρ 09, 2016 2:48 pm

Rempeskes έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} με f(1)=0, για την οποία ισχύει \displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}, για κάθε x>0.

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.



Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος


Σωστό είναι Μάριε.

Το έγραψε εν συντομία.

Διαίρεσε με \displaystyle x^2, \displaystyle \Rightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}={e}^{\frac{f(x)}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}

μετά με {e}^{\frac{f(x)}{x}}, \displaystyle \Rightarrow \left[{e}^{-\frac{f(x)}{x}}\left(-\frac{f(x)}{x} \right)' \right]=-\frac{1}{x^2}


\displaystyle \Rightarrow \left({e}^{-\frac{f(x)}{x}} \right)'=\left(\frac{1}{x} \right)' \Rightarrow ....


Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη; ;)

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Τετ Μαρ 09, 2016 3:01 pm

Γράφω χάριν πλουραλισμού άλλη μια αντιμετώπιση για την όμορφη άσκηση του κ. Μπάμπη.

α)Παρατηρούμε ότι \displaystyle F(x)=ln{e}^{F(x)} \wedge lnf(x)=lnF'(x) οπότε \displaystyle \Rightarrow ln{e}^{F(x)} +lnF'(x)=ln\left({e}^{F(x)}\cdot F'(x) \right)\Rightarrow ...



β)Έστω συνάρτηση \displaystyle g(x)=F(x^2)-2x \Rightarrow g'(x)=2\left(\frac{x-\sqrt{x^4 +1}}{\sqrt{x^4 +1}} \right)<0

Άρα, για \displaystyle x>0 \Rightarrow g(x)<g(0)=0 \Rightarrow \int_{0}^{3}g(x)dx<0 \Rightarrow ...

γ)προφανής η \displaystyle x=y=z=0

Θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν το έχω γράψει στο χαρτί, αλλά βλέπω πως είναι ζόρικο με 3 αγνώστους)
M.S.Vovos έγραψε: Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη; ;)

Φιλικά,
Μάριος
Νόμιζα πως έλεγες για την διαφορική...

Συμπληρώνω τον Μιχάλη λοιπόν,

Η f συνεχής στο \displaystyle\left[0,+\infty \right)οπότε\displaystyle f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=0


Άρα, \displaystyle f(x)=\begin{cases} 
 & x\cdot lnx ,\text{ if } x>0  \\  
 & 0 ,\text{ if } x=0  
\end{cases}


Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Τετ Μαρ 09, 2016 3:41 pm

ΑΣΚΗΣΗ 13

(δεν πρόκειται για ολόκληρο θέμα αλλά μου φαίνεται δύσκολο ερώτημα)

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x_1,x_2 \in (0,1) με x_1<x_2 τέτοια ώστε:

f(x_2)=\dfrac{(1-x_1)f(x_1)}{x_1}
τελευταία επεξεργασία από Kostas Tzimoulias σε Τετ Μαρ 09, 2016 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Μαρ 09, 2016 6:44 pm

Kostas Tzimoulias έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

(δεν πρόκειται για ολόκληρο θέμα αλλά μου φαίνεται δύσκολη ερώτημα)

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x_1,x_2 \in (0,1) με x_1<x_2 τέτοια ώστε:

f(x_2)=\dfrac{(1-x_1)f(x_1)}{x_1}
Καλησπέρα! Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε πως όταν \displaystyle{0 < x < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} < 1 - x < 1}.
Αυτό μας ωθεί στο να θεωρήσουμε τη συνάρτηση με τύπο \displaystyle{g(x) = xf\left( {1 - x} \right) - (1 - x)f(x),x \in [0,1]}
Επιλέγω ένα τυχαίο \displaystyle{0 < {x_1} < \frac{1}{2}}

Τότε \displaystyle{g({x_1}) = {x_1}f(1 - {x_1}) - \left( {1 - {x_1}} \right)f({x_1})}

και

\displaystyle{g(1 - {x_1}) = \left( {1 - {x_1}} \right)f({x_1}) - {x_1}f(1 - {x_1}) =  - g({x_1})}

Επομένως \displaystyle{g(1 - {x_1})g({x_1}) \le 0} οπότε:

Αν \displaystyle{g({x_1}) = 0} το x_1 είναι το επιθυμητό σημείο μαζί με το x_2=1-x_1 ενώ

αν \displaystyle{g(1 - {x_1}) = 0} καταλήγουμε παρόμοια ενώ

αν \displaystyle{g({x_1})g(1 - {x_1}) < 0} ο Bolzano θα δώσει και πάλι τη λύση στο πρόβλημα μας.

( To ξ του θεωρήματος ή θα ανήκει στο \displaystyle{\left( {0,\frac{1}{2}} \right)} ή στο \displaystyle{\left( {\frac{1}{2},1} \right)} ή θα είναι το \displaystyle{\frac{1}{2}} οπότε σε κάθε περίπτωση είμαστε εντάξει.)


Χρήστος Κυριαζής
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τετ Μαρ 09, 2016 9:55 pm

Rempeskes έγραψε:Γράφω χάριν πλουραλισμού άλλη μια αντιμετώπιση για την όμορφη άσκηση του κ. Μπάμπη.

α)Παρατηρούμε ότι \displaystyle F(x)=ln{e}^{F(x)} \wedge lnf(x)=lnF'(x) οπότε \displaystyle \Rightarrow ln{e}^{F(x)} +lnF'(x)=ln\left({e}^{F(x)}\cdot F'(x) \right)\Rightarrow ...



β)Έστω συνάρτηση \displaystyle g(x)=F(x^2)-2x \Rightarrow g'(x)=2\left(\frac{x-\sqrt{x^4 +1}}{\sqrt{x^4 +1}} \right)<0

Άρα, για \displaystyle x>0 \Rightarrow g(x)<g(0)=0 \Rightarrow \int_{0}^{3}g(x)dx<0 \Rightarrow ...

γ)προφανής η \displaystyle x=y=z=0

Θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν το έχω γράψει στο χαρτί, αλλά βλέπω πως είναι ζόρικο με 3 αγνώστους)
M.S.Vovos έγραψε: Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη; ;)

Φιλικά,
Μάριος
Νόμιζα πως έλεγες για την διαφορική...

Συμπληρώνω τον Μιχάλη λοιπόν,

Η f συνεχής στο \displaystyle\left[0,+\infty \right)οπότε\displaystyle f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=0


Άρα, \displaystyle f(x)=\begin{cases} 
 & x\cdot lnx ,\text{ if } x>0  \\  
 & 0 ,\text{ if } x=0  
\end{cases}
Η αλήθεια είναι ότι με παραξένεψε λίγο που έκλεινε στο 0 αλλά το... αγνόησα :)

Ευχαριστώ Σωτήρη.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 918
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Μαρ 10, 2016 9:58 am

maiksoul έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια προσωπική κατασκευή

Έστω συναρτήσεις f,g,h:R\rightarrow R συνεχείς, με g(0)>0 και ισχύουν:

\displaystyle{ 
\, \bullet \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{\,f(\,x\,)\,\, - \,\,g(\,x\,)}}{x} = \,1\,\,\,\,\, 
}

\displaystyle{ 
 \bullet \,\,\,\,\,f^{\,2\,} (\,x\,) + 6\,x\,f(x) - e^{x^{\,2} \, - \,\,x} \,\, = \,\,3 - 9x^2 \, 
}\;\;\;\; 
\displaystyle{ 
{\,\forall x \in \Re } 
}

ενώ η συνάρτηση h δίνεται από τον τύπο :
\displaystyle{ 
\,h\,(\,x\,) = \int\limits_1^x {[\,f(t) + 3t\,]\,dt + 2x\,\,,\,\,\,\,x \in \Re }  
}
Να δείξετε ότι:
Ι) f(0)=2

II)η h είναι 1-1

III)η εξίσωση: \displaystyle{ 
h\,[\,h\,(\,x^3  + 3x\,) - h\,(\,x^3  + \sqrt {e^{x^{\,2} \, - \,\,x}  + 3\,} \,)\, + 1\,]\,\, = \,\,2\,\, 
}

έχει ρίζα στο διάστημα ( 0 , 1 )
i) Θεωρώ αρχικά συνάρτηση k(x)= \frac{f(x)-g(x)}{x} , για την οποία γνωρίζω ότι lim_{x \rightarrow 0} k(x)=1 . Επομένως

f(x)-g(x)=xk(x) \Leftrightarrow f(x)=xk(x)+g(x) \Rightarrow

\Rightarrow lim_{x \rightarrow 0}f(x)= lim_{x \rightarrow 0} (xk(x)+g(x) \Leftrightarrow f(0)=g(0)>0 , αφού οι συναρτήσεις. f,g είναι συνεχείς.

Στη δεύτερη σχέση τώρα για x=0f^{2}(0)-1=3 \Leftrightarrow f^{2}(0)=4 \Leftrightarrow f(0)=2 , αφού f(0)>0.

ii) Επίσης : f^{2}(x)+6xf(x)+9x^{2} = e^{x^{2}-x}+3 \Leftrightarrow (f(x)+3x)^{2}=e^{x^{2}-x}+3 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow |f(x)+3x|= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} (★)

Η συνάρτηση f(x)+3x είναι μη μηδενιζόμενη καθώς, αν υπήρχε ρίζα a, τότε η σχέση (★) για x=a καταλήγει σε άτοπο ( e^{a^{2}-a}+3=0)

Αφού επιπλέον είναι συνεχής συνάρτηση, θα διατηρεί πρόσημο στο R και καθώς f(0)+3*0=2>0 θα είναι f(x)+3x>0 , \forall x \in R

(★) \Rightarrow f(x)+3x= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} >0

Για την h(x) . Θεωρώ x_{1},x_{2} \in R τέτοια, ώστε h(x_{1})=h(x_{2}) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  \int_{1}^{x_{1}} (f(t)+3t)dt +2x_{1} = \int_{1}^{x_{2}} (f(t)+3t) dt +2x_{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2x_{1}-2x_{2}=\int_{1}^{x_{2}} (f(t)+3t)dt - \int_{1}^{x_{1}} (f(t)+3t)dt \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2(x_{1}-x_{2})= \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(t)+3t)dt (★★)

→ αν x_{1}< x_{2} , τότε το α' μέλος της ★★ είναι αρνητικό ενώ το β' μέλος θετικό, αφού η συνάρτηση στο ολοκλήρωμα είναι θετική.
→ αν x_{1}>x_{2} , τότε ομοίως η σχέση ★★ καταλήγει σε άτοπο αφού τα μέλη της είναι ετερόσημα.
Αναγκαστικά x_{1}=x_{2} και η συνάρτηση h(x) είναι 1-1.

iii) Αρχικά h(1)= \int_{1}^{1}  (f(t)+3t)dt +2=0+2=2

Η ζητούμενη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται :

h[h(x^{3}+3x)-h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3})+1]=h(1) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow h(x^{3}+3x)-h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3})+1=1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow h(x^{3}+3x)=h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x^{3}+3x=x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 3x= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} \Leftrightarrow 3x- \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}=0

Θεωρώ τη συνάρτηση m(x)= 3x- \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} , η οποία είναι συνεχής στο [0,1] και για την οποία θέλω να αποδείξω ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
m(0)=-2<0 και m(1)=1>0
Συμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η συνάρτηση m(x) θα έχει πράγματι μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 918
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Μαρ 10, 2016 2:06 pm

ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση f:[0, + \infty) \rightarrow R γνησίως αύξουσα και κοίλη στο [0, + \infty) , με f(0)=0 .

Εστω επίσης η συνάρτηση g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}} , με A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0} και g(A_{g})=(0,+ \infty).

Α) Να βρείτε το A_{g} και να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο A_{g}.

Β) Να λυθεί η εξίσωση x^{2}f(x)=f(x^{2}) στο [0, + \infty)

Γ) Να δείξετε ότι \int_{1}^{2} (2x^{7}-x^{2})f(x)dx > \int_{1}^{2} (2x^{5}-1)f(x^{2})dx > \int_{2}^{4} f(x^{2}) dx

Δ) Να δείξετε ότι lim_{x \rightarrow 0}  \frac{f(x)}{x^{2}} = + \infty

Ε) Αν επιπλέον ισχύει 2f(x^{2})f'(x)=f(x) , για κάθε x>0 , να δείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 12, 2016 12:28 pm

Λάμπρο αν μου επιτρέπεις μία δύσκολη αλλά διαχρονική.

Άσκηση 15

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} μία παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει f(0)=1 και f(-x) f'(x)=x , \;\; \forall x \in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι f(x)>0, \;\; \forall x \in \mathbb{R} και ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο να προσδιορίσετε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Σάβ Μαρ 12, 2016 5:59 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση f:[0, + \infty) \rightarrow R γνησίως αύξουσα και κοίλη στο [0, + \infty) , με f(0)=0 .

Εστω επίσης η συνάρτηση g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}} , με A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0} και g(A_{g})=(0,+ \infty).

Α) Να βρείτε το A_{g} και να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο A_{g}.

Β) Να λυθεί η εξίσωση x^{2}f(x)=f(x^{2}) στο [0, + \infty)
Μια απάντηση.

A) Η g ορίζεται όταν \displaystyle{ 
{f(x) > 0 = f(0) \Leftrightarrow x > 0} 
} (λόγω μονοτονίας της f ) δηλαδή \displaystyle{ 
\,A_g \, = (\,0\,,\,\, + \,\,\infty \,) 
}


Η παραγωγίσιμη f είναι γνησίως αύξουσα, άρα \displaystyle{ 
\,\,f'(x) \ge 0\,\,\,\,\,\forall x > 0\,\, 
} οπότε ικανοποιεί το ΘΜΤ στο [0,x] με x>0 και ισχύει:

\displaystyle{ 
f'(\xi ) = \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \frac{{f(x)}}{x}\,\, \Leftrightarrow f(x) = x\,f'(\xi )\,\,\,\,\,\,\,(1) 
} για κάποιον \displaystyle{ 
\xi  \in (0,x)\, 
}
Είναι:
\displaystyle{ 
\,\,0 < \xi  < x\mathop  \Rightarrow \limits^{f' \downarrow } f'(\xi ) > f'(x) \Rightarrow \,\,\,\,f'(\xi ) - f'(x) > 0\,\,\,\,\,(2) 
}

Για x>0 έχουμε:
\displaystyle{ 
g'(x) = \frac{{2f(x) - xf'(x)}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }}\mathop  = \limits_{x > 0}^{(1)} \frac{{x[2f'(\xi ) - f'(x)]}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }} = \frac{{x[f'(\xi ) + f'(\xi ) - f'(x)]}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }}\mathop {\, > \,}\limits^{(2)} 0 
}
άρα η g είναι γνησίως αύξουσα .

B)Το x=0 είναι μια ρίζα της εξίσωσης .Για x>0 η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{ 
\sqrt {x^2 f(x)}  = \sqrt {f(x^2 )}  \Leftrightarrow x\sqrt {f(x)}  = \sqrt {f(x^2 )} \, \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {f(x^2 )} }} = \frac{1}{{\sqrt {f(x)} }} \Leftrightarrow \frac{{x^2 }}{{\sqrt {f(x^2 )} }} = \frac{x}{{\sqrt {f(x)} }} \Leftrightarrow  
}

\displaystyle{ 
g(x^2 ) = g(x)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{g \uparrow } x^2  = x\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 1 
}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες