mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 28, 2015 10:44 am**

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ ,για την οποία υπάρχουν οι συναρτήσεις G,F : G'(x)=f(x),F'(x)=G(x),F(0)=G(0)=0

και ισχύει: (x-1)F(x)+x=xG(x)+1

και θεωρούμε και την συνάρτηση g(x)=x^3f(x)

Α)Να βρείτε την f
Β)Βρείτε την μονοτονία και τα σημεία καμπής της g.
Γ)Υπολογίστε το : $\int_{0}^{1}f(x)dx$
Δ)Να λύσετε την ανίσωση: $\int_{x^2+3}^{x^2+5}g(t)dt >\int_{ln(x^2+4)}^{ln(x^2+4)+2}g(t)dt$ .
.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 29, 2015 1:28 pm**

Χρόνια πολλά!

Νομίζω οτι η εκφώνηση , αν δεν κάνω λάθος, πρέπει να ναι:

gradion έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ ,για την οποία υπάρχουν οι συναρτήσεις
και ισχύει:
και θεωρούμε και την συνάρτηση
Α)Να βρείτε την f
Β)Βρείτε την μονοτονία και τα σημεία καμπής της g.
Γ)Υπολογίστε το : $\int_{0}^{1}f(x)dx$
Δ)Να λύσετε την ανίσωση: $\int_{x^2+3}^{x^2+5}g(t)dt >\int_{ln(x^2+4)}^{ln(x^2+4)+2}g(t)dt$ .
.

Με την παραπάνω εκφώνηση και για το 1 ερώτημα εχω:

$(1): xF(x)+x=xF'(x)+F(x) \Leftrightarrow [xF(x)]'-[xF(x)]-x=0\Leftrightarrow$ xF(x)=e^x-x-1

$F(x)=\frac{e^x-x-1}{x},\;\;\ x \neq0$

$G(x)=F'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2},\;\;\ x\neq0,\;\;\;G(0)=1/2$

$\forall x \neq0:f(x)=G'(x)=\frac{(x^2-2x+2)e^x-2}{x^3}$ λόγω συνέχειας είναι f(0)=1/3

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 29, 2015 10:20 pm**

Συνεχίζω με την προηγούμενη εκφώνηση που έχω δώσει

Σε περίπτωση που έχω κάνει λάθος ζητάω συγνώμη από το δημιουργό, όπως επίσης

ζητάω να παρέμβει για να αποκαταστήσει το λάθος μου.

B) Για $x=0: \;\;g(0)=0f(0)=0$ και $\forall x \neq0\;\; g(x)=(x^2-2x+2)e^x-2$ η οποία είναι συνεχής

'Οταν $x \rightarrow0,g(x) \rightarrow 0=g(0)$ άρα η συνάρτηση είναι συνεχής και στο 0.

Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το

Είναι $\forall x \in R^*: g'(x)=x^2e^x>0$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πραγματικό άξονα.

Ακόμα $g"(x)=(x^2+2x)e^x,\;\;g"(x)=0 \Leftrightarrow x=0\;\;\vee\;\;\;x=-2$

$g''(x)>0 \Leftrightarrow x<-2\;\;\vee\;\;\;x>0$ ενώ $g''(x)<0 \Leftrightarrow -2<x<0$

επομένως η συνάρτηση έχει σημεία καμπής τα $A(-2,g(-2)),\;\;B(0,g(0))$

Γ)Για το ερώτημα γ έχουμε

$\int_{0}^{1}f(x)dx= \int_{0}^{1}G'(x)dx=G(1)-G(0)=1-1/2=1/2$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 29, 2015 11:36 pm**

Θα δω το βοήθημα και θα σας πω .Δεν την έφτιαξα εγώ.

ευχαριστω

mathematica.gr

Γενικό

Γενικό

Re: Γενικό

Re: Γενικό

Re: Γενικό