Θέματα ΕΜΕ 2012

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Θέματα ΕΜΕ 2012

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Δευ Απρ 30, 2012 12:59 pm

Προσοχή στο Θέμα 6 α ii των Θεμάτων της ΕΜΕ 2012.

Η λύση, που δίνεται, είναι λάθος!

Παράδειγμα: θεωρήστε τις συναρτήσεις f, με f(x)=4, x\in\mathbb{R} και g, μεg(x)=-3, x\in\mathbb{R}.

Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του f^2(x)+g^2(x) είναι, προφανώς, το 25

Το λάθος βέβαια, που γίνεται στη λύση, είναι το συνηθισμένο λάθος της μέγιστης - ελάχιστης τιμής και το έχουμε συζητήσει αρκετές φορές στο mathematica.


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τρί Μάιος 01, 2012 8:32 am

Καλό μήνα σε όλους ( δύσκολος μήνας αυτός)!

Αν αυτή η λύση είναι λάθος, θα μπορούσατε σας παρακαλώ να υποδείξετε ποια θα ήταν η σωστή ; Στην αρχή όταν έλυσα την άσκηση δεν εντόπισα το λάθος. Σας ευχαριστώ θερμά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5433
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 01, 2012 11:02 am

pito έγραψε:Καλό μήνα σε όλους ( δύσκολος μήνας αυτός)!

Αν αυτή η λύση είναι λάθος, θα μπορούσατε σας παρακαλώ να υποδείξετε ποια θα ήταν η σωστή ; Στην αρχή όταν έλυσα την άσκηση δεν εντόπισα το λάθος. Σας ευχαριστώ θερμά.
Για δες μήπως με την παραπάνω υπόθεση ότι οι συναρτήσεις f,g έχουν σύνολο τιμών το [-4,6] το πρόβλημα τακτοποιείται . Από αυτά που έδειξε η εύστοχη παρατήρηση του Κώστα, φαίνεται ότι δεν μπορεί να υπάρξει άλλη λύση που να είναι σωστή, διότι απλά δεν μπορεί να υπάρχει αναγκαστικά μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.Για παράδειγμα, αν f(\frac {2-5\sqrt 2}{2}) =g(\frac {2-5\sqrt 2}{2}) , τότε η συνάρτηση θα έχει ελάχιστο αυτό που γράφει η λύση.Διαφορετικά όχι.(Αρκεί να βρούμε τα κοινά σημεία του κύκλου με την ευθεία y=x).Αυτό που δημιουργεί το πρόβλημα είναι ότι δεν έχουμε γεωμετρικό τόπο, αλλά γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του μιγαδικού.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 01, 2012 7:54 pm

Καλή Πρωτομαγιά, μία Πρωτομαγιά που συνδέεται και με την τεράστια επιτυχία των Ελλήνων Διαγωνιζόμενων στην 29η Β. Μ. Ο., αυτή την Β.Μ.Ο. που έγραψε την δική της Ιστορία.
Θα ήθελα εδώ να μου επιτραπεί να αναφερθώ και στην μεγάλη συμβολή του mathematica προς την κατεύθυνση αυτή με τις χιλιάδες Υπεράριστες παρεμβάσεις στις αντίστοιχες στήλες από συναδέλφους με συνεχή δείγματα γραφής και ακόμα περισσότερο από την εδώ παρουσία στο mathematica των Μεγάλων Μαθηματικών Ολυμπιονικών του παρελθόντος στους διαγωνισμούς αυτούς που παραμένουν κατά πλειοψηφία στον στίβο των Μαθηματικών στην Πατρίδα αλλά και Παγκοσμίως.
Στην συντριπτική πλειοψηφία τους οι Υπέρ-Άριστοι αυτοί συνεχιστές επί της Μαθηματικής Επιστήμης από αυτούς, Παρελαύνουν από εδώ την Μαθηματική μας οικογένεια προσφέροντας και διδάσκοντας στο Maximum.


Ως μέλος τώρα της επιτροπής των θεμάτων της Ε. Μ. Ε. (υπάρχουν και άλλα μέλη του mathematica που είναι ταυτόχρονα και μέλη της επιτροπής αυτής της
Ε. Μ. Ε.) θα ήθελα να επισημάνω ότι κατά την πληκτρολόγηση των θεμάτων και εκ παραδρομής παραλήφθηκε το καταληκτικό φραστικό του ερωτήματος αυτού δηλαδή του επίμαχου (6a\;{ii}). Το ερώτημα σε πλήρη ανάπτυξη έχει ως εξής:


6\alpha \;ii)
Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του αθροίσματος
f^2 \left( x \right) + g^2 \left( x \right),
στην περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος την εικόνων των μιγαδικών \displaystale{z_x} είναι ο κύκλος του προηγούμενου ερωτήματος.

Τις ειλικρινείς ευχαριστίες στους φίλους και άριστους συνάδελφους από εδώ το mathematica που ασχολήθηκαν και επεσήμαναν.
Ναι κατά την προσωπική μου άποψη αυτό είναι πολύ βασικό ζητούμενο.

(*)Τα κόκκινα γράμματα είναι αυτά που δυστυχώς δεν πληκτρολογήθηκαν.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Μάιος 01, 2012 9:31 pm

Καλό μήνα στα μέλη του mathematica.
pito έγραψε:Καλό μήνα σε όλους ( δύσκολος μήνας αυτός)!

Αν αυτή η λύση είναι λάθος, θα μπορούσατε σας παρακαλώ να υποδείξετε ποια θα ήταν η σωστή ; Στην αρχή όταν έλυσα την άσκηση δεν εντόπισα το λάθος. Σας ευχαριστώ θερμά.
Αν και το ανέφερε ο Μπάμπης, να πω ότι με τα δεδομένα του ερωτήματος δεν μπορεί να υπάρξει σωστή λύση! Αν θέλεις, είναι λάθος το ερώτημα.
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Για δες μήπως με την παραπάνω υπόθεση ότι οι συναρτήσεις f,g έχουν σύνολο τιμών το [-4,6] το πρόβλημα τακτοποιείται .
S.E.Louridas έγραψε:Το ερώτημα σε πλήρη ανάπτυξη έχει ως εξής:

6\alpha \;ii)
Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του αθροίσματος
f^2 \left( x \right) + g^2 \left( x \right),
στην περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος την εικόνων των μιγαδικών \displaystale{z_x} είναι ο κύκλος του προηγούμενου ερωτήματος.
Με την υπόθεση που ξεχάστηκε, και την αναφέρει ο Σωτήρης, να προσθέσω στην άσκηση ένα ακόμα πολύ καλό ερώτημα:

Να δειχθεί, (αυτό που αναφέρει ο Μπάμπης σαν υπόθεση:) ότι το σύνολο τιμών των συναρτήσεων είναι το [-4,6]


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 01, 2012 9:46 pm

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να ευχαριστήσω πολύ, ειλικρινά και ειδικά τον προσωπικό μου φίλο Κώστα Σερίφη επειδή έχει ζηλευτή Διαίσθηση και παρατηρητικότητα που τον αναδεικνύουν σε Μαθηματικό αιχμής


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Τρί Μάιος 01, 2012 9:48 pm

Σε συνέχεια της τοποθέτησης του Σωτήρη, καλό είναι να αναφέρουμε ότι δυο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, όπως ακριβώς αναφέρθηκαν εκεί, είναι οι f(x)=1+5\sigma \upsilon \nu \theta x και g(x)=1+5\eta \mu \theta x, όπου \theta \in (-\frac{\pi }{2},  0) με \sigma \upsilon \nu \theta =\frac{3}{5}  \kappa \alpha \iota   \eta \mu \theta =-\frac{4}{5}. Το μέγιστο προκύπτει όταν x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4\theta } και το ελάχιστο, όταν x=-\frac{5\pi }{4\theta }. Φυσικά και το σύνολο τιμών είναι το [-4,6].


nikan-dos
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Θέματα ΕΜΕ 2012

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 01, 2012 10:34 pm

Και με βάση αυτή τη συζήτηση ένα open problem:

Θα μπορούσαμε να είχαμε μία περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγάδων \displaystale{z_x} να ήταν η ένωση των κόκκινων κλειστών τόξων του σχήματος που ακολουθεί (ή κάτι διαφορετικότερο με την εξασφάλιση των συγκεκριμένων Max. και min. του θέματος μας) με όλα τα άλλα διατηρούμενα;
Συνημμένα
SXqwer.png
SXqwer.png (12.8 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης