Θέμα 40

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 40

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Σάβ Φεβ 04, 2012 1:02 am

Έστω \displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+x+1. Να υπολογισθεί το \displaystyle\underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \nu \ln \frac{f(\nu +1)}{f(\nu )} \right\}.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1392
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Θέμα 40

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Φεβ 04, 2012 8:25 pm

Μια προσπάθεια στο θέμα.
D(f)=Rf είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με

f^\prime(x)=2x+1.
Η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα \left[n,n+1 \right] και άρα
\exists x_1\in \left(n,n+1 \right);f^\prime(x_1)=f(n+1)-f(n)\Rightarrow  
2x_1+1=f(n+1)-f(n)\Rightarrow ln(2x_1+1)=ln({f(n+1)\over f(n)})

n<x_1<n+1 και άρα όταν n\rightarrow +\infty\Rightarrow x_1\rightarrow +\infty.
Έχουμε ότι \lim_{n\rightarrow +\infty}ln({f(n+1)\over f(n)})=\lim_{x_1\rightarrow +\infty}ln(2x_1+1)=+\infty

Άρα \lim_{n\rightarrow +\infty}\left\{nln({f(n+1)\over f(n))} \right\}=+\infty
Η f είναι γνήσια αύξουσα για x>0 καθώς f^\prime(x)=2x+1>0 για κάθε x>0 και άρα
n+1>n\Rightarrow f(n+1)-f(n)>0 και έτσι έχει νόημα ο λογάριθμος


Παπαπέτρος Ευάγγελος
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Φεβ 04, 2012 11:02 pm

Καλησπέρα, BAGGP93 να ρωτήσω στο θεώρημα Μέσης τιμής το x_{1}\varepsilon \left(n,n+1 \right) παίρνει μερικές τιμές στο συγκεκριμένο διάστημα ,πως ξέρουμε ότι απειρίζεται; Βάση γνωστών θεωρημάτων ;
φιλικά
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 12:10 am

\frac{f(\nu +1)}{f(\nu )}=\frac{\nu ^{2}+3\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1}=1+\frac{2\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1} θέτω u=\frac{2\nu +3}{\nu ^{2}+\nu +1},\nu \rightarrow +\propto \Leftrightarrow u\rightarrow 0+ Είναι u\nu ^{2}+(u-2)\nu +(u-3)=0\Leftrightarrow \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u},\nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u} με τους περιορισμούς \Delta >0\Leftrightarrow \frac{4-2\sqrt{7}}{3}<u<\frac{u+2\sqrt{7}}{3} εφόσον u\rightarrow 0+ Άρα υπολογίζουμε το όριο \lim_{u\rightarrow 0}\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u}.ln(u+1) Για \nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+8u+4}}{u},
απορρίπτεται γιατί \nu \rightarrow -3\Leftrightarrow u\rightarrow 0+ απλές πράξεις με συζυγή παράσταση. Αρα
\lim_{u\rightarrow 0}(2-u+\sqrt{-3u^{2}+8u+4}).\frac{ln(u+1)}{u}=4.1=4

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 40

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Κυρ Φεβ 05, 2012 12:34 am

Γιάννη γεια σου!

Δεν είναι αυτό το όριο.

Σε χαιρετώ.


ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 40

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Κυρ Φεβ 05, 2012 2:17 am

Υπόδειξη

Είναι \displaystyle{{{u}_{\nu }}=\nu \ln \frac{f(\nu +1)}{f(\nu )}=\nu \ln \left( 1+\frac{f(\nu +1)-f(\nu )}{f(\nu )} \right)\le \nu \frac{f(\nu +1)-f(\nu )}{f(\nu )}=}
=\nu \frac{2\nu +2}{{{\nu }^{2}}+\nu +1}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 9:17 am

Καλημέρα, ghan ευχαριστώ , ελέγχω τη λύση και την επαναφέρω
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 10:08 am

ghan, στη λύση που έχω δώσει ,λείπει το 2 στον παρονομαστή και η απάντηση είναι \lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=2
Ποιά είναι η δική σου απάντηση; Πρόσεξε δεν θέλω τη λύση .
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 40

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Κυρ Φεβ 05, 2012 10:32 am

Το όριο είναι 2.
Δες το και από την υπόδειξη.

Σε καλημερίζω.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 10:55 am

Ευχαριστώ gahn, με το δικό μου τρόπο βρήκα όριο δυο και γράφω λεπτομέρειες u\nu =\nu ln(1+\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+\nu +1}), u=\frac{2\nu +2}{\nu^{2} +\nu +1 }  (1),u\rightarrow 0\Leftrightarrow \nu \rightarrow +\propto (1)\Leftrightarrow u\nu ^{2}+(u-2)\nu +u-2=0, \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u},\frac{-2}{3}<u<2 Αρα \lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=\frac{4}{2}.1=2 η άλλη περίπτωση αποκλείεται γιατί \nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u} αποκλείεται γιατί το όριο του ν είναι πραγματικός αριθμός .Πολύ φασαρία ...για ένα δυο...
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Θέμα 40

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 05, 2012 11:07 am

STOPJOHN έγραψε:Ευχαριστώ gahn, με το δικό μου τρόπο βρήκα όριο δυο και γράφω λεπτομέρειες u\nu =\nu ln(1+\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+\nu +1}), u=\frac{2\nu +2}{\nu^{2} +\nu +1 }  (1),u\rightarrow 0\Leftrightarrow \nu \rightarrow +\propto (1)\Leftrightarrow u\nu ^{2}+(u-2)\nu +u-2=0, \nu =\frac{2-u+\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u},\frac{-2}{3}<u<2 Αρα \lim_{u\rightarrow 0}u_{\nu }=\frac{4}{2}.1=2 η άλλη περίπτωση αποκλείεται γιατί \nu =\frac{2-u-\sqrt{-3u^{2}+4u+4}}{2u} αποκλείεται γιατί το όριο του ν είναι πραγματικός αριθμός .Πολύ φασαρία ...για ένα δυο...
Γιάννης
Κύρις Γιάννη συγνώμη αλλά ειλικρινά:
1)Δεν κατανοώ τον τρόπο σας.
2)Δε μπορώ να βγάλω από τις σκέψεις σας πως το όριο είναι δύο.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέμα 40

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 05, 2012 11:27 am

BAGGP93 έγραψε: 2x_1+1=f(n+1)-f(n)\Rightarrow ln(2x_1+1)=ln({f(n+1)\over f(n)})
Χμμμ, για δες το πάλι.

Μ.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 12:01 pm

Χρήστο, καλημέρα κάνω αλλαγή μεταβλητής και στη συνέχεια με τριώνυμο βρίσκω το όριο οι πράξεις φαίνονται παραπάνω
Η οποιαδήποτε καθυστέρηση στην απάντηση οφείλεται σε διακοπές του internet αν υπάρχει ακόμη απορία θα επανέλθω
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Θέμα 40

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 05, 2012 12:31 pm

Συνεχίζω να μην κατανοώ!
Ειδικά αυτό το πάντρεμα μεταβλητών και ορίων, δεν το έχω ξαναδεί!
Μπορεί και να μη βλέπω αυτό που πρέπει, εντάξει.
Καλημέρα.


Χρήστος Κυριαζής
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 6:24 pm

Πάμε με ένα παράδειγμα στην κατανόηση του παντρέματος ...
a_{\nu }=\frac{\nu ^{2}+\nu +5}{\nu ^{2}+1} θέλω να βρω το όριο της ακολουθίας .Θέτω u=\frac{1}{\nu },\nu \rightarrow +\propto \Leftrightarrow u\rightarrow 0+ άρα υπολογίζω το όριο της ακολουθίας a_{u}=\frac{1+u+5u^{2}}{1+u},\lim_{u\rightarrow 0}a_{u}=1. Εφόσον υπάρχει απορία την ακούω....σε αναμονή
Φιλικά
Γιάννης
Υ.Γ Υπάρχει πρόβλημα με την ιστοσελίδα του mathematica δηλαδή και όταν έχω internet κάνοντας υποβολή περιμένω ....και δεν πηγαίνουνε τα μηνύματα τι φταίει;


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Θέμα 40

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 05, 2012 7:32 pm

Στη λύση σας, σας είναι εύκολο να προσδιορίσετε την ακολουθία \displaystyle{ 
u_n  
};;
Και επιπλέον, εξισώνετε έναν φυσικό αριθμό (το n) με μία παράσταση που δε γνωρίζετε καν αν είναι φυσικός αριθμός;;
Αυτά ειλικρινά δεν τα έχω ξαναδεί και με με ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα σας παρακολουθήσω στην απαντησή σας.


Χρήστος Κυριαζής
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 10:22 pm

Η ακολουθία είναι η δοσμένη από την υπόθεση και θέτω u_{_{\nu }}=\frac{2\nu +2}{\nu ^{2}+n+1} με όριο το μηδέν τα υπόλοιπα έπονται με πράξεις
Γιάννης
ΥΓ. Η απάντηση είναι δυο όπως δόθηκε από τον θεματοδότη


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Θέμα 40

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 05, 2012 10:35 pm

Εντάξει, αλλά πως ένας φυσικός ισούται με μία παράσταση που δεν είναι πάντα φυσικός;;


Χρήστος Κυριαζής
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα 40

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 05, 2012 11:50 pm

Δεν είναι απαραίτητο να είναι φυσικός όταν κάνουμε αντικατάσταση.Άλλο ισότητα και άλλο αντικατάσταση
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 40

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Φεβ 05, 2012 11:54 pm

Καλησπέρα. Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο στην κουβέντα... Ο Χρήστος υποθέτω πως εννοεί

ότι στην αντικατάσταση u=\frac{1}{\nu} πλέον το u δεν είναι φυσικός (παρά μόνο για \nu=1) άρα

δεν έχει νόημα η "ακολουθία" a_u... ο δείκτης δεν είναι φυσικός.


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης