Θέμα 35

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 35

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Πέμ Φεβ 02, 2012 3:27 pm

Είχα προτείνει την παρακάτω άσκηση.
Μετά από προσωπικό μήνυμα που έλαβα, ότι το συμπέρασμα της άσκησης είναι λανθασμένο, βάσει της υπόθεσης, παραθέτω τη λύση που δίνω προς έλεγχο.

Ευχαριστώ.

Άσκηση
Αν \displaystyle{f}'(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R} και \displaystyle{f(0)=1, τότε για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{1}{\alpha } \right\} ισχύει:
\displaystyle{f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)-f(\alpha )=f(x)-1.

Λύση
Αρκεί να δειχθεί ότι \displaystyle{f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)-f(x)=f(\alpha )-1.
Θέτω \displaystyle{g(x)=f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)-f(x). Τότε \displaystyle{{g}'(x)={f}'\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right){{\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)}^{\prime }}-{f}'(x)=\frac{1}{1+{{\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)}^{2}}}\frac{1+{{\alpha }^{2}}}{{{\left( 1-\alpha x \right)}^{2}}}-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}=
\displaystyle{=\frac{{{\left( 1-\alpha x \right)}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{\alpha }^{2}} \right)}\frac{1+{{\alpha }^{2}}}{{{\left( 1-\alpha x \right)}^{2}}}-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}=0, άρα \displaystyle{g(x)=c.
Για \displaystyle{x=0 έχουμε: \displaystyle{g\left( 0 \right)=f(\alpha )-f(0)=f(\alpha )-1, οπότε \displaystyle{g(x)=f(\alpha )-1.


ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 145
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Re: Θέμα 35

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Πέμ Φεβ 02, 2012 4:18 pm

Νομίζω οτι βασίζεσαι στο θεώρημα σταθερής συνάρτησης χωρίς να λαμβάνεις υπόψιν σου τις ιδιότητες της συνάρτησης που

αποδεικνύεις - χρησιμοποιείς.
Μια προσέγγιση έξω απο την σχολική ύλη


f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \Rightarrow f(x) = tan^{-1}(x) + c με βάση τις αρχικές συνθήκες \Rightarrow  
 
x=0 \Rightarrow c =1 οπότε f(x) = tan^{-1}(x) + 1 Η συγγεκριμένη συνάρτηση που δίνεις

\displaystyle{f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right) } = \displaystyle{tan^{-1} \left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)} + 1

αλλα η αντίστροφη της εφαπτομένης \displaystyle{tan^{-1} \left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)}= tan^{-1} (x) + tan^{-1}(a) άν ax<1

οπότε φαίνεται να μην υπάρχει πρόβλημα. Αλλά

\displaystyle{tan^{-1} \left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)} = tan^{-1} (x) + tan^{-1}(a) - \pi αν a> 0 , x > 0  \wedge ax>1

καθώς και
\displaystyle{tan^{-1} \left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)} = tan^{-1} (x) + tan^{-1}(a)  + \pi αν a< 0 , x < 0  \wedge ax>1

και έτσι ξεκινάνε τα προβλήματα :wallbash:
τελευταία επεξεργασία από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ σε Παρ Φεβ 03, 2012 10:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 35

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Παρ Φεβ 03, 2012 11:12 am

Η πρόταση ισχύει σ’ ένα από τα διαστήματα \displaystyle\left( -\infty ,\frac{1}{\alpha } \right),\left( \frac{1}{\alpha },+\infty  \right) που περιέχει το μηδέν, αφού \displaystyle{f(0)=1.
(Θεώρημα σταθερής σε διάστημα).


ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 145
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Re: Θέμα 35

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τρί Φεβ 07, 2012 6:51 pm

ghan έγραψε: Αν \displaystyle{f}'(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R} και \displaystyle{f(0)=1, τότε για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{1}{\alpha } \right\} ισχύει:
\displaystyle{f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)-f(\alpha )=f(x)-1.
ghan έγραψε:Η πρόταση ισχύει σ’ ένα από τα διαστήματα \displaystyle\left( -\infty ,\frac{1}{\alpha } \right),\left( \frac{1}{\alpha },+\infty  \right) που περιέχει το μηδέν, αφού \displaystyle{f(0)=1.
(Θεώρημα σταθερής σε διάστημα).

Τελικά πώς ακριβώς είναι η εκφώνιση ; Γιατί νομίζω οτι όποιος διαβάσει την δημοσίευση θα μπερδευτεί.

Υ.Γ. Άν όντως η άσκηση βασίζεται στο Θ. σταθερής συνάρτησης γιατί βρίσκεται στον φάκελο ''ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ'' που
θα έπρεπε να συνδιάζει τουλάχιστον δύο κεφάλαια ;


ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 35

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τετ Φεβ 08, 2012 8:43 am

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
ghan έγραψε: Αν \displaystyle{f}'(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R} και \displaystyle{f(0)=1, τότε για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{1}{\alpha } \right\} ισχύει:
\displaystyle{f\left( \frac{x+\alpha }{1-\alpha x} \right)-f(\alpha )=f(x)-1.
ghan έγραψε:Η πρόταση ισχύει σ’ ένα από τα διαστήματα \displaystyle\left( -\infty ,\frac{1}{\alpha } \right),\left( \frac{1}{\alpha },+\infty  \right) που περιέχει το μηδέν, αφού \displaystyle{f(0)=1.
(Θεώρημα σταθερής σε διάστημα).

Τελικά πώς ακριβώς είναι η εκφώνιση ; Γιατί νομίζω οτι όποιος διαβάσει την δημοσίευση θα μπερδευτεί.

Υ.Γ. Άν όντως η άσκηση βασίζεται στο Θ. σταθερής συνάρτησης γιατί βρίσκεται στον φάκελο ''ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ'' που
θα έπρεπε να συνδιάζει τουλάχιστον δύο κεφάλαια ;

Καλημέρα κύριε ΚΟΥΤΣΟΥΚΟ.
Το συμπέρασμα της πρότασης ισχύει όχι «για κάθε \dispaystyle{x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{1}{\alpha } \right\}», που είναι ένωση διαστημάτων, αλλά σ’ ένα από τα διαστήματα \left( -\infty ,\frac{1}{\alpha } \right),\left( \frac{1}{\alpha },+\infty  \right) που περιέχει το μηδέν (f(0)=1) και στο οποίο εφαρμόζεται το θεώρημα συνάρτησης με μηδενική παράγωγο σ’ αυτό.
Όσον αφορά τον φάκελο, εσύ πώς βρήκες την αντίστροφη;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης