Θέμα 34

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 34

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τετ Φεβ 01, 2012 11:14 am

Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων:

α) \displaystyle{f(x)={{x}^{x}}

β) \displaystyle{f(x)={{x}^{2}}-3\left| x \right|+2

γ) \displaystyle{f(x)=\max ({{x}^{2}},{{x}^{3}})

δ) \displaystyle{f(x)=\ln [\ln (\ln x)]


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 34

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Φεβ 01, 2012 11:44 am

Ξεκινάω από το β) ...

H f έχει τύπο \displaystyle{f(x)=\begin{cases} x^2+3x+2,~x<0 \\ x^2-3x+2,~x\geq 0 \end{cases}} και παράγωγο \displaystyle{f'(x)=\begin{cases} 2x+3,~x<0 \\ 2x-3,~x>0 \end{cases}}.

Εύκολα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left[-\frac{3}{2},0\right]} και \displaystyle{\left[\frac{3}{2},+\infty\right)}

και γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right]} και \displaystyle{\left[0,\frac{3}{2}\right]}
Συνημμένα
b.png
b.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 34

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Φεβ 01, 2012 11:52 am

Για το α)...

H f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με παράγωγο \displaystyle{f'(x)=(x^x)'=(e^{x \ln x})'=e^{x \ln x}(x \ln x)'=x^x(\ln x+1)}.

O παράγοντας x^x είναι θετικός άρα το πρόσημο της παραγώγου εξαρτάται από την \ln x +1. Επομένως, έχουμε ότι

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\left(0,\frac{1}{e}\right]} και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[\frac{1}{e},+\infty\right)}
Συνημμένα
x^x.png
x^x.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 34

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Φεβ 01, 2012 12:12 pm

Για το γ)...

Είναι x^2>x^3\Leftrightarrow x^2(1-x)>0\Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1 και x^2<x^3\Leftrightarrow x>1

Eπομένως, \displaystyle{f(x)=\begin{cases} x^2,~x<1 \\x^3,~x\geq 1 \end{cases}}. H συνάρτηση g(x)=x^2 είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0] και

γνησίως αύξουσα στο [0,1) και η συνάρτηση h(x)=x^3 είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+\infty).

Aφού η f είναι συνεχής στο 1, τελικά είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty).
Συνημμένα
x2-x3.png
x2-x3.png (9.91 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 34

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Φεβ 01, 2012 12:21 pm

Για το δ)... (Σε δόσεις τελικά) :)

Για το πεδίο ορισμού πρέπει x>0 και \ln x >0 και \ln (\ln x)>0 ή ισοδύναμα x>0 και x >1 και x>e.

Άρα, D_f=(e,+\infty). Η f είναι σύνθεση γνησίως αυξουσών συναρτήσεων άρα γνησίως αύξουσα στο (e,+\infty).
Συνημμένα
3lnx.png
3lnx.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες