Θέμα 33

ghan · #1

Έστω

δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με {f}''(x)<0

. Τότε $\displaystyle{f(x+1)>\frac{f(x)+f(x+2)}{2}$ .

#2

H συνάρτηση

είναι συνεχής στα [x,x+1],[x+1,x+2]

(ως παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ),
η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στα (x,x+1),(x+1,x+2)

(ως παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ),

οπότε από το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχουν
$\xi_1 \in (x,x+1),\xi_2 \in (x+1,x+2)$
τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1)=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=f(x+1)-f(x)}$
$\displaystyle{f'(\xi_2)=\frac{f(x+2)-f(x+1)}{x+2-x-1}=f(x+2)-f(x+1)}$ .

Αφού $f''(x)<0,x \in \mathbb{R}$ , η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Συνεπώς αφού $\xi_1<\xi_2$ θα ισχύει
$\displaystyle{f(\xi_1)>f(\xi_2) \Leftrightarrow f(x+1)-f(x)>f(x+2)-f(x+1) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{ 2f(x+1)>f(x+2)+f(x) \Leftrightarrow f(x+1)>\frac{f(x+2)+f(x)}{2}}$ .

#3

ghan έγραψε:Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με . Τότε $\displaystyle{f(x+1)>\frac{f(x)+f(x+2)}{2}$ .

Ας επισημανθεί ότι, στην πραγματικότητα, το ζητούμενο είναι η απόδειξη της ανισότητας Jensen για (γνησίως) κοίλη συνάρτηση:

$\displaystyle{f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)>\frac{f(a)+f(b)}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a\ne b.}$

Η παραπάνω απόδειξη του Λευτέρη μεταφέρεται αυτούσια.

Θέμα 33

Θέμα 33

Re: Θέμα 33

Re: Θέμα 33

Μέλη σε σύνδεση