Θέμα 33

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 33

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τετ Φεβ 01, 2012 10:33 am

Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με {f}''(x)<0. Τότε \displaystyle{f(x+1)>\frac{f(x)+f(x+2)}{2}.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2827
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 33

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Φεβ 01, 2012 10:51 am

H συνάρτηση f είναι συνεχής στα [x,x+1],[x+1,x+2] (ως παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}),
η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στα (x,x+1),(x+1,x+2) (ως παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}),

οπότε από το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχουν
\xi_1 \in (x,x+1),\xi_2 \in (x+1,x+2)
τέτοια ώστε \displaystyle{f'(\xi_1)=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=f(x+1)-f(x)}
\displaystyle{f'(\xi_2)=\frac{f(x+2)-f(x+1)}{x+2-x-1}=f(x+2)-f(x+1)}.

Αφού f''(x)<0,x \in \mathbb{R}, η συνάρτηση f' είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}.

Συνεπώς αφού \xi_1<\xi_2 θα ισχύει
\displaystyle{f(\xi_1)>f(\xi_2) \Leftrightarrow f(x+1)-f(x)>f(x+2)-f(x+1) \Leftrightarrow}
\displaystyle{ 2f(x+1)>f(x+2)+f(x) \Leftrightarrow f(x+1)>\frac{f(x+2)+f(x)}{2}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θέμα 33

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Φεβ 01, 2012 2:57 pm

ghan έγραψε:Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με {f}''(x)<0. Τότε \displaystyle{f(x+1)>\frac{f(x)+f(x+2)}{2}.
Ας επισημανθεί ότι, στην πραγματικότητα, το ζητούμενο είναι η απόδειξη της ανισότητας Jensen για (γνησίως) κοίλη συνάρτηση:

\displaystyle{f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)>\frac{f(a)+f(b)}{2}} για κάθε \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a\ne b.}

Η παραπάνω απόδειξη του Λευτέρη μεταφέρεται αυτούσια.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης