Ένα προς ένα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Ένα προς ένα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Παρ Δεκ 30, 2011 11:34 am

Εάν f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\} με f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\cdot f\left( y \right) για κάθε x,\,y\in \mathbb{R}, τότε η f είναι ένα προς ένα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ένα προς ένα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 30, 2011 11:41 am

Δεν θα μπορούσε να είναι f(x) = 1 για κάθε x \in \mathbb{R};


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Ένα προς ένα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Παρ Δεκ 30, 2011 11:50 am

Η συνάρτηση f(x)=1 ικανοποιεί τις υποθέσεις αλλά δεν είναι 1-1.

Αν προσθέσουμε στην υπόθεση ότι: η f παίρνει την τιμή 1, μόνο όταν x=0,

τότε η f είναι 1-1.


Στράτης Αντωνέας
ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Ένα προς ένα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Παρ Δεκ 30, 2011 12:03 pm

Θα μπορούσε. Έτσι μου την έδωσαν και δεν μπορώ να βρω τι λείπει.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ένα προς ένα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Δεκ 30, 2011 12:07 pm

...Καλημέρα :logo: συμφωνώ με τον Στρατή και τον Δημήτρη και δίνω μία λύση για το ζητούμενο...

Έστω ότι f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) με {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R Τώρα αν υποθέσουμε ότι ισχύει {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} τότε {{x}_{1}}-{{x}_{2}}\ne 0 άρα

{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=a\ne 0\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}+a οπότε από f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Leftrightarrow f({{x}_{2}}+a)=f({{x}_{2}})\Leftrightarrow f({{x}_{2}})f(a)=f({{x}_{2}})

και λόγω υπόθεσης f({{x}_{2}})\ne 0 οπότε f(a)=1 και επειδή f(x)=1\Leftrightarrow x=0 σύμφωνα με τα επιπλέον δεδομένα

προκύπτει a=0 άτοπο άρα f είναι 1-1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ένα προς ένα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Δευ Ιαν 02, 2012 1:26 am

Η δοσμένη σχέση για x=y=0 δίνει f^2(0)=f(0) και αφού f(x)\ne0 παίρνουμε ότι f(0)=1
Έστω τυχαία x_1,x_2\in R με f(x_1)=f(x_2).Τότεf(x_1)f(-x_2)=f(x_2)f(-x_2)\Rightarrow f(x_1-x_2)=f(x_2-x_2)=f(0)=1.
Έπειτα η λύση είναι ίδια με αυτή που υπάρχει παραπάνω και έτσι δείχνουμε ότι x_1=x_2.Άρα έχουμε το ζητούμενο
Έχω συναντήσει ακριβώς ίδια μόνο που έδινε ένα ακόμη στοιχείο.Η εξίσωση f(x)=1έχει μοναδική λύση οπότε ήταν ευκολότερο να δείξεις οτι x_1=x_2


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: R BORIS και 2 επισκέπτες