Ενδιαφέρουσα άσκηση 5

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Ενδιαφέρουσα άσκηση 5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Παρ Δεκ 31, 2010 1:09 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h : R \rightarrow R παραγωγίσιμες* με f(x_{0})=a, g(x_{0})=b, h(x_{0})=c και (fg){'}(x_{0})=c_{1}, (gh){'}(x_{0})=a_{1}, (hf){'}(x_{0})=b_{1},
στο x_{0}\epsilon R.
Να υπολογίσετε την (fgh){'}(x_{0}).

* ή παραγωγίσιμες στο x_{0}.

Νίκος Αποστολάκης


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2230
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρουσα άσκηση 5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 31, 2010 3:13 pm

είν αι
\displaystyle{f'g+g'f=c_1\Rightarrow  \frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}=\frac{c_1}{ab}} και κυκλικά
Προσθέτοντας
\displaystyle{2(\frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}+\frac{h'}{h})=\frac{c_1}{ab}+\frac{b_1}{ac}+\frac{a_1}{gb}}
Κάνοντας ομώνυμα το ζητούμενο \displaystyle{=\frac{1}{2}(aa_1+bb_1+cc_1)} που ισχύει ακόμη και όταν \displaystyle{abc=0}


APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Re: Ενδιαφέρουσα άσκηση 5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Παρ Δεκ 31, 2010 7:07 pm

Ωραιότατα!!!


Άβαταρ μέλους
spyros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:15 am

Re: Ενδιαφέρουσα άσκηση 5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spyros » Σάβ Ιαν 01, 2011 2:09 am

Στο ίδιο σκεπτικό με του Ροδόλφου με λίγο διαφορετική διατύπωση, έχουμε από τα δεδομένα.
\begin{array}{l} 
 \beta f'\left( {{x_0}} \right) + \alpha g'\left( {{x_0}} \right) = {\gamma _1},\ {\rm{ }}\gamma g'\left( {{x_0}} \right) + \beta h'\left( {{x_0}} \right) = {\alpha _1} \\  
 {\rm{\kappa \alpha \iota  }}\\\alpha h'\left( {{x_0}} \right) + \gamma f'\left( {{x_0}} \right) = {\beta _1} \\  
 \end{array}

Και πολλαπλασιάζοντας αντίστοιχα με γ , α και β και κατόπιν προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε
\begin{array}{l} 
 \beta \gamma f'\left( {{x_0}} \right) + \alpha \gamma g'\left( {{x_0}} \right) = \gamma {\gamma _1}\ {\rm{, }}\alpha \gamma g'\left( {{x_0}} \right) + \alpha \beta h'\left( {{x_0}} \right) = \alpha {\alpha _1} \\  
 {\rm{\kappa \alpha \iota  }}\\\alpha \beta h'\left( {{x_0}} \right) + \beta \gamma f'\left( {{x_0}} \right) = \beta {\beta _1} \\  
 \end{array}

Οπότε 2{\left( {fgh} \right)^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \alpha {\alpha _1} + \beta {\beta _1} + \gamma {\gamma _1}

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
:mathexmastree:


\displaystyle{\bf\sqrt{\Sigma \pi \upsilon \rho o \varsigma}^{2}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης