Με απλά υλικά 22

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1460
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά 22

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιούλ 28, 2020 8:27 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R με \displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της \displaystyle {{C}_{f}} και να σχεδιάσετε τη \displaystyle {{C}_{f}} .
δ) Θεωρούμε τον περιορισμό \displaystyle g της \displaystyle f στο \displaystyle [0,+\infty ). Να δείξετε ότι η \displaystyle g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη .
ε) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της \displaystyle {{g}^{-1}}.
ζ) Έστω το σημείο \displaystyle A(0,1) .
i) Να βρείτε ποιο σημείο της \displaystyle {{C}_{f}} βρίσκεται πλησιέστερα στο \displaystyle A.
ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle y=k, με \displaystyle -1<k<1, τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}} σε δυο σημεία \displaystyle B,C και κατόπιν να βρείτε το \displaystyle k ώστε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC να είναι το μέγιστο δυνατό .
η) Να αποδείξετε ότι \displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx<-1}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
greek_sorcerer
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Αύγ 02, 2010 4:18 pm

Re: Με απλά υλικά 22

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από greek_sorcerer » Τετ Ιούλ 29, 2020 3:49 pm

Για την γραφική παράσταση πέρα από τον κλασικό τρόπο αντιμετώπισης, υπάρχει και ο εξής:
f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{-2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}

η συνάρτηση g(x)=\frac{1}{x^2+1} είναι γνωστή από το μάθημα Πιθανοτήτων ως κατανομή Cauchy, η οποία δεν έχει δεν έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση, αλλά μοιάζει στο σχήμα με την Κανονική Κατανομή (με πιο ψηλές ουρές).
Εικόνα

Οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η συμμετρική της g ως προς τον άξονα x'x και μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες