Ένα Θέμα!

#1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}a, ~~x=0, \\ \ln x \ln (1-x),~~0<x<1, \\ b,~~x=1.\end{cases}}$

a) Βρεθούν τα $\displaystyle{a,b.}$

b) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f.}$

c) Να βρείτε την παράγωγο της $\displaystyle{f}$ και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

d) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη.

e) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^x=(1-x)^{(1-x)}}$ στο διάστημα $\displaystyle{(0,1).}$

Διόρθωσα το πεδίο ορισμού. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο.

#2

matha έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 01, 2018 8:14 pm
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}a, ~~x=0, \\ \ln x \ln (1-x),~~0<x<1, \\ b,~~x=1.\end{cases}}$

a) Βρεθούν τα $\displaystyle{a,b.}$

b) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f.}$

c) Να βρείτε την παράγωγο της $\displaystyle{f}$ και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

d) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη.

e) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^x=(1-x)^{(1-x)}}$ στο διάστημα $\displaystyle{(0,1).}$

Διόρθωσα το πεδίο ορισμού. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο.

...καλό μήνα

με μια απάντηση στις απαιτήσεις του φίλου μου του Θάνου....

a) Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ είναι συνεχής στο συνάρτηση [0,1]

οπότε θα ισχύουν και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0),\,\,\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=a,\,\,\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$

Είναι όμως $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \ln x\,\ln (1-x) \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln x\,\frac{\ln (1-x)}{x} \right)=a$ και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0$ και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1-x)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{1}{1-x}}{1}=-1$ άρα a=0

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \ln x\ln (1-x) \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( (1-x)ln(1-x)\frac{lnx}{1-x} \right)=b$

και ανάλογα $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( (1-x)ln(1-x) \right)=0$ και $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{1-x} \right)=-1$

b) Είναι τώρα η $f(x)=\left\{ \begin{matrix} 0,~~x=0, \\ \ln x\ln (1-x),~~0<x<1, \\ 0,~~x=1. \\ \end{matrix} \right.$

παραγωγίσιμη στο $(0,\,1)$ με ${f}'(x)=\frac{1}{x}\ln (1-x)-\frac{1}{1-x}\ln x=\frac{\ln (1-x)}{x}-\frac{lnx}{1-x}$ και ${f}'(\frac{1}{2})=0$

Τώρα για την συνάρτηση $g(x)=\frac{\ln x}{1-x},\,\,\,x\in (0,\,\,1)$ έχουμε ότι είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\frac{\frac{1}{x}(1-x)+\ln x}{{{(1-x)}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x}-1+\ln x}{{{(1-x)}^{2}}}>0,\,\,\,x\in (0,\,\,1)$ γιατί ως γνωστόν

$\ln x\le x-1,\,\,x>0$ και επίσης $\ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1\Leftrightarrow -\ln x\le \frac{1}{x}-1,\,\,x>0$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για

x=1

επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα και τότε έχουμε ${f}'(x)=g(1-x)-g(x),\,\,x\in (0,\,1)$

Τώρα για $x<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x<1\Leftrightarrow x<1-x\Rightarrow g(x)<g(1-x)$ και τότε

${f}'(x)=g(1-x)-g(x)>0,\,\,x\in (0,\,\frac{1}{2})$ δηλαδή η

γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,\frac{1}{2}]$ και για

$x>\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x>1\Leftrightarrow x>1-x\Rightarrow g(x)>g(1-x)$ και τότε ${f}'(x)=g(1-x)-g(x)<0,\,\,x\in (\frac{1}{2},\,1)$

δηλαδή η

γνήσια φθίνουσα στο $[\frac{1}{2},\,\,0)$ επομένως στο $\frac{1}{2}$ η

παίρνει την μέγιστη τιμή της που είναι $f(\frac{1}{2})={{\ln }^{2}}2$ οπότε το σύνολο τιμών της

είναι το $[0,\,\,{{\ln }^{2}}2]$

c) Για την παράγωγο της

έχουμε ότι ${f}'(x)=g(1-x)-g(x),\,\,x\in (0,\,\,1)$ και

${f}''(x)=-{g}'(1-x)-{g}'(x)=-({g}'(1-x)+{g}'(x))<0,\,\,x\in (0,\,\,1)$ από το (b) άρα η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,1)$

και είναι ${f}'((0,\,1))=(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x),\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))$

και επειδή $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=-1$ το

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(g(1-x)-g(x))=+\infty$ και

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(g(1-x)-g(x))=-\infty$

άρα το σύνολο τιμών της {f}'

είναι το

d) Από (c) ${f}''(x)=-{g}'(1-x)-{g}'(x)=-({g}'(1-x)+{g}'(x))<0,\,\,x\in (0,\,\,1)$ άρα η

είναι κοίλη στο $[0,\,1]$

e) Είναι ${{x}^{x}}={{(1-x)}^{(1-x)}}\Leftrightarrow \ln {{x}^{x}}=\ln {{(1-x)}^{(1-x)}}\Leftrightarrow x\ln x=(1-x)\ln (1-x)\Leftrightarrow$

$\frac{\ln x}{1-x}=\frac{\ln (1-x)}{x}\Leftrightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ λόγω των προηγουμένων…..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλης Καλαμάτας · #3

Καλημέρα. Το θέμα μου άρεσε πολύ, έκανα τις ίδιες σκέψεις με το συνάδελφο Βασίλη και έχω να κάνω δύο παρατηρήσεις:

1. Με προβλημάτισε η σειρά των ερωτημάτων, η απάντηση στο ερώτημα ε είναι κομβικό σημείο για το ερώτημα β. Μήπως υπάρχει άλλος τρόπος αντιμετώπισης που μας διέφυγε?

2. Για τα όρια του ερωτήματος α (στην προσπάθεια να αποφύγω τα L'Hospital που χρειάζονται όπως παραθέτει στην υποδειγματική λύση ο Βασίλης) σκέφθηκα το εξής:
Είναι $f(x)=ln(1-x)^{lnx}$ .
Αφού $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)=1$ και $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}lnx=-\infty$ είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)^{lnx}=1$ (μπορούμε να το γράψουμε αυτό, ποια είναι η γνώμη σας???)
οπότε $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=ln1=0$ .

Για το άλλο όριο αντίστοιχα $f(x)=lnx^{ln(1-x)}$ και όμοιο τρόπο αντιμετώπισης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 10:33 am
Καλημέρα. Το θέμα μου άρεσε πολύ, έκανα τις ίδιες σκέψεις με το συνάδελφο Βασίλη και έχω να κάνω δύο παρατηρήσεις:

1. Με προβλημάτισε η σειρά των ερωτημάτων, η απάντηση στο ερώτημα ε είναι κομβικό σημείο για το ερώτημα β. Μήπως υπάρχει άλλος τρόπος αντιμετώπισης που μας διέφυγε?

2. Για τα όρια του ερωτήματος α (στην προσπάθεια να αποφύγω τα L'Hospital που χρειάζονται όπως παραθέτει στην υποδειγματική λύση ο Βασίλης) σκέφθηκα το εξής:
Είναι $f(x)=ln(1-x)^{lnx}$ .
Αφού $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)=1$ και $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}lnx=-\infty$ είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)^{lnx}=1$ (μπορούμε να το γράψουμε αυτό, ποια είναι η γνώμη σας???)
οπότε $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=ln1=0$ .

Για το άλλο όριο αντίστοιχα $f(x)=lnx^{ln(1-x)}$ και όμοιο τρόπο αντιμετώπισης.

Αφού $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)=1$ και $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}lnx=-\infty$ είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-x)^{lnx}=1$ (μπορούμε να το γράψουμε αυτό, ποια είναι η γνώμη σας???)

Δεν μπορούμε να το γράψουμε.

Δεν είναι σωστό το

Αν $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$ και $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=-\infty$ τότε $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{g(x)}=1$

π,χ $f(x)=1+\left | x \right |,g(x)=-\frac{1}{\left | x \right |}$

Βασίλης Καλαμάτας · #5

Έχεις δίκιο Σταύρο δε μπορούμε, όταν τα βλέπεις βράδυ δεν τα κοιτάς όλα όπως πρέπει, τώρα που το κοίταξα ξανά, για να μπορούσαμε θα έπρεπε η μορφή άπειρο επί μηδέν να δίνει μηδέν, αλλά δε δίνει πάντα!!!
Ευχαριστώ για την απάντηση και το παράδειγμα!!!

Ένα Θέμα!

Ένα Θέμα!

Re: Ένα Θέμα!

Re: Ένα Θέμα!

Re: Ένα Θέμα!

Re: Ένα Θέμα!

Μέλη σε σύνδεση