Με απλά υλικά (2)

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ για την οποία ισχύει : $\displaystyle{{{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .
Β1. Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)}$
Β2. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα , τις ασύμπτωτες και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Β3. Να δείξετε ότι $\displaystyle{|f({\rm{\alpha ) - f(\beta )| < |\alpha - \beta |}}}$ για κάθε , $\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}$ με $\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}$ .
Β4. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}}$ και το $\displaystyle{{{I}_{2}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}}$

#2

exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ για την οποία ισχύει : $\displaystyle{{{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .
Β1. Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)}$
Β2. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα , τις ασύμπτωτες και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Β3. Να δείξετε ότι $\displaystyle{|f({\rm{\alpha ) - f(\beta )| < |\alpha - \beta |}}}$ για κάθε , $\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}$ με $\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}$ .
Β4. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}}$ και το $\displaystyle{{{I}_{2}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}}$

...και μιά απλή αντιμετώπιση...

Β1. Είναι ${{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x}}{{e}^{f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{f(x)}}({{e}^{x}}+1)\Leftrightarrow$

${{e}^{x}}={{e}^{f(x)}}({{e}^{x}}+1)\Leftrightarrow {{e}^{f(x)}}=\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right),\,\,\,x\in R$

Β2. Η

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από

$f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)={{\{lne}}^{x}}-\ln ({{e}^{x}}+1)=x-\ln ({{e}^{x}}+1)$ παραγωγίζοντας έχουμε ότι

${f}'(x)=1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}>0,\,\,\,x\in R$ άρα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνήσια αύξουσα στο

Τώρα είναι ${f}''(x)=-\frac{{{e}^{x}}}{({{e}^{x}}+1)}<0,\,\,\,x\in R$ επομένως είναι και κοίλη στο

.

Ακόμη επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=1$ το

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)=0$

επομένως η ευθεία y=0

δηλαδή ο

είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty$ και επειδή

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=0$ το

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)=-\infty$

άρα το σύνολο τιμών της είναι

$f(R)=\left( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(-\infty ,\,\,0)$

Επίσης επειδή η

είναι συνεχής στο

δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες και στο $-\infty$ είναι

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{\ln ({{e}^{x}}+1)}{x} \right)=1$ και

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln ({{e}^{x}}+1)=0$

επομένως η ευθεία y=x

είναι ασύμπτωτη της της γραφικής παράστασης της

στο $-\infty$

Β3. Από $|f(\alpha )\text{-f}(\beta )\text{ }\!\!|\!\!\text{ }<\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\alpha \text{-}\beta \text{ }\!\!|\!\!\text{ }\Leftrightarrow \left| \frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta } \right|<1\Leftrightarrow -1<\frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta }<1$ (1)

και σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi$ στο διάστημα που ορίζουν τα

$\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}$ με $\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}$ που ${f}'(\xi )=\frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta }$ και από (1) $\Leftrightarrow -1<{f}'(\xi )<1\Leftrightarrow -1<\frac{1}{{{e}^{\xi }}+1}<1$ που ισχύει.

Β4. Είναι $\displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}}$ και από ${{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}\Leftrightarrow 1-{{e}^{f(x)-x}}={{e}^{f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{f(x)-x}}=1-{{e}^{f(x)}}=1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}$ άρα

${{\Iota }_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}=\left[ x-\ln ({{e}^{x}}+1) \right]_{0}^{1}=1-\ln (e+1)+ln2$

και το ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f(x)dx}=\left[ {{e}^{x}}f(x) \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{f}'(x)dx}=$

$\left[ ef(1)-f(0) \right]-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}dx}=ef(1)-f(0)-\left[ \ln ({{e}^{x}}+1) \right]_{0}^{1}=....$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Β3 χωρίς παραγώγους
$f(x)=ln\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=lne^{x}-ln(1+e^{x})=x-ln(1+e^{x})$

Η

όπως έδειξε ο Βασίλης είναι γνησίως αύξουσα.

Αρα για a> b

είναι $\left | f(a)-f(b) \right |=f(a)-f(b)=a-b-(ln(1+e^{a})-ln(1+e^{b}))< a-b=\left | a-b \right |$

αφού $(ln(1+e^{a})-ln(1+e^{b}))>0$

Αυτή η συνάρτηση αποτελεί παράδειγμα συνάρτησης $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για την οποία ισχύει $\left | f(x)-f(y) \right |< \left | x-y \right |,x\neq y$
και δεν έχει σταθερό σημείο.

Με απλά υλικά (2)

Με απλά υλικά (2)

Re: Με απλά υλικά (2)

Re: Με απλά υλικά (2)

Μέλη σε σύνδεση